中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)

当m?1时，|b1a1?b2a2??bmam|?am?(am?1?am?2??a1)?0。

这样便验证了所构造的序列满足所有条件。

第二天

4. 解法1 由

min{f(xi),f(xj)}?min{(xi?a)(xi?b),(xj?a)(xj?b)}?(xi?a)(xi?b)(xj?a)(xj?b)11?[(xi?a)(xj?b)?(xi?b)(xj?a)]?xixj?(xi?xj)(a?b)?ab，则 22nna?b1na?b2222F??xixj?(xi?xj)?Cn?ab?[(?xi)??xi]?(n?1)?xi?Cn?ab?21?i?j?n2i?121?i?j?ni?1i?1n1n?111nn?1222?(1??xi)?(a?b)?Cn?ab?[1?(?xi)2]?(a?b)?Cn?ab 222ni?12i?111n?1n(n?1)n?11(1?)?(a?b)?ab?(?a?b?nab) 2n222n1n?11(?a?b?nab)。 当x1?x2??xn?时，上式等号成立，故F的最大值为

n2n解法2 对n归纳证明下述理一般的命题。 ?命题 对满足x1?x2??xn?s 的非负实数x1,x2,， ,xn（s是任意固定的非负实数）

F?的最大值在x1?x2?1?i?j?n?min{f(xi),f(xj)}

?xn?s时取到。 n事实上，由F的对称性，不妨设x1?x2?递增的。则

?xn。注意到，f(x)在非负实数集上是单调

F?(n?1)f(x1)?(n?2)f(x2)?s2假设结论在n时成立，考虑n?1的情形。

对x2?x3?当n?2时，F?f(x1)?f()，等号在x1?x2时成立。

?f(xn?1)

?xn?1?s?x1用归纳假设有

s?x11F?nf(x1)?n(n?1)f()?g(x1)

2nn?1其中g(x)为关于x的二次函数，其二次项系数为1?，一次项系数为

2n2a?b?n?12s(a?b?)。 2nn因此，对称轴为

n?12s(a?b?)?a?bs2nn??[2(n?1)s?2n(n?1)(a?b)](n?1)?s(2n2?n?1)n?12(n?1)2?2ns显然，上式不等号左边?2(n2?1)s?右边，所以，当x1?时，g(x1)取得最大值。

n?1s?x1s??x1。 因此，F取得最大值时，x2?x3??xn?1?nn?1由数学归纳法，命题得证。

5. 由于n是偶数，故p?2。又p|n，故p|k。

n?k(p?k)n?k2不妨假设0?k?p.取a?k,b?p?k，则c???k

pp由条件知c是整数，a、b是不同的正整数。

下面只需证明：c?0，并且c?a、b. 由均值不等式有由此知c?0.

n?k?2n?p，故n?k2?pk. kn?k2若c?a，则?k?k，即n?k(2p?k).

p由于n是偶数，故k为偶数，这样n被4整除，这与n无平方因子矛盾。 若c?b，则n?p?k.

由于n是偶数，故k为奇数，这同样导致n被4整除，矛盾。 综上，选取的a、b、c满足条件。 命题获证。

6. 设a?b?c，令x?a?b,y?a?c,z?b?c. 则x?y?z,x?y?z，且x?y?z为偶数.① 反之，若存在x、y、z?A满足性质①，则取a?22x?y?zx?z?yy?z?x,b?,c?,222有a、b、c?Z,1?a?b?c?2012，且x?a?b,y?a?c,z?b?c.

于是，题述条件等价于对任意的k元子集A，均有x、y、z?A，满足性质①。

若A?{1,2,3,5,7,,2011}，则A?1007，且集合A中不含有满足性质①的三个元素。

因此k?1008.

下面证明：任意一个1008元子集均含有三个元素满足性质①。 接下来证明一个更一般的结论： 对任意整数n(n?4)，集合{1,2,①。

对n进行归纳。

当n?4时，设集合A是{1,2,若A{3,4,若A{3,4,,2n}的任意一个n?2元子集均含有三个元素满足性质

,8}的一个六元子集，则A{3,4,,8}至少有4个元素。

,8}中含有三个偶数，则4、6、8?A且满足性质①；

,8}中恰含有两个偶数，则它还应含有至少两个奇数，取这两个奇数，则4、

6、8中至少有两个偶数与这两个奇数可以形成一个满足性质①的三元数组，由于至少有两个偶数，故存在三个数满足性质①； 若A{3,4,,8}中恰含有一个偶数，则它含有全部三个奇数，此偶数与5、7即构成满足

性质①的三元数组。

因此，当n?4时，结论成立。

假设结论对n(n?4)成立，考虑n?1的情形。 设集合A是{1,2,,2n?2}的一个n?3元子集，若A{1,2,,2n}?n?2，则由归纳假

设知结论成立。于是，只需考虑A{1,2,此时，若{1,2,,2n}?n?1且2n?1、2n?2?A的情形。

,2n}中有一个大于1的奇数x在集合A中，则x、2n?1、2n?2即构成

满足性质①的三元数组； 若{1,2,,2n}中所有大于1的奇数均不在集合A中，则

,2n,2n?1,2n?2}，而后者恰有n?3个元素，故 ,2n,2n?1,2n?2}，此时，4、6、8?A满足性质①。

A?{1,2,4,6,A?{1,2,4,6,综上，所求最小的k为1008.