模糊综合层次评判法

模糊综合层次评判法（FAHP)

FAHP评价法是一种将模糊综合评判法（Fuzzy Comprehensive Evaluation，FCE）和层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）相结合的评价方法，在体系评价、效能评估，系统优化等方面有着广泛的应用，是一种定性与定量相结合的评价模型，一般是先用层析分析法确定因素集，然后用模糊综合评判确定评判效果。模糊法是在层次分析法之上，两者相互融合，对评价有着很好的可靠性。 模糊数学的相关理论研究

1965年，美国加利福尼亚大学控制论专家L.A.Zadeh教授发表了《模糊集合》一文，这标志着模糊数学的诞生。模糊数学是研究和处理模糊性现象的一种数学方法。 模糊性基本概念

模糊性是事物类属的不确定性，是对象资格程度的渐变性。例如，对于一座山，有人可以认为是高山，但可能有人觉得它并不高。事物的这种不清晰类属的特性就是模糊性，而这类事物我们通常称为模糊事物。模糊事物在类属问题上不能做出“是”或“不是”，“属于”或“不属于”，“存在”或“不存在”等的是非断言，只能区别程度和等级。 模糊集合概念

论域X上的模糊集合A定义是：A={（x,A(x)）｜x∈X}或者A={（x,μA（x））｜x∈X}其中A(x)或μA（x）称为隶属函数，它满足 A：X→M，M称为隶属空间

上式表示模糊集合A是论域X到隶属空间的一个映射。

隶属函数A(x)用于刻画元素x对模糊集合A的隶属程度，通常称为隶属度。模糊集合A的每一个元素（x, A(x)）都能明确的表现出x的隶属等级。A(x)的值越大，x的隶属度就越高。例如，当隶属空间是（0，1）时，若A(x)=1，则说明x完全属于A；而若A(x)=0时，说明x不属于A；而A(x)值介于0与1之间时，说明隶属度也介于属于与不属于之间——模糊的。

隶属函数的构造

与经典集合可由其特征函数所确定一样，模糊集合A也能由其隶属函数所确定。在解决实际问题时，往往首先遇到的问题是确定隶属函数。但在一般情况下，这个函数却无法直接得到，而必须经过一些调查实验。目前，国内外已经得到应用或已经提出的方法有很多种，本文只简要介绍几种常用的方法。 模糊统计方法

模糊统计试验的基本原理是：设A是论域X中的模糊集合，现考虑x∈X对模糊集合A的隶属度。在论域X中构造一个边界可变的、可移动的普通集合S，这个集合S往往是通过各种不同的人对于模糊集合A的一种肯定性的评价。对于特定的x，S可以含有x，也可以不含有x。假设进行了n次模糊统计试验，其中有m次x∈X，则m与n之比称为x对模糊集合A的隶属频率。事实证明，随着试验次数的增加，x对A的隶属频率将趋于稳定。这个稳定值可以作为x对模糊集合A的隶属度A(x)。 利用已有的经济指标

在经济管理、社会科学中，可以直接借用已经存在的经济指标作为模糊集的隶属度。比如，在论域U（设备）上定义模糊集A=“设备完好”，以设备完好率作为隶属度来表示“设备完好”这个模糊集是十分恰当的。 利用现有的模糊分布

模糊综合评判的的基本步骤如下： 第一步：建立评价集。

评价集是影响评判对象的各种元素所组成的一个普通集合，通常用大写字母U表示，即U={u1,u2,?,um},各元素ui代表各影响因素。在这些因素中，有些因素可以是模糊的，也可以是非模糊的。 第二步：确定评语集。

评语集是评判者对于评判对象可能做出的各种可能的总的评价结果，例如评语集={很好，较好，一般，较差，很差}。 第三步：建立权重集。

各个评价因素的重要程度是不一样的，为了反映各个因素的重要程度，对各个因素ui应赋予一定的权重ai（i=1,2,?,m）。各评价因素权重组成的模糊集合A称为因素权重集。 A=（a1,a2,?,am）

且权重ai满足归一性和非负性，即， ∑????=1????=1,ai≥0(i=1,2,?,m)

各权重ai可视为各因素ui对“重要性”的隶属度，因此，权重集可视为评价因素集上的模糊子集，可以表示为 A=++?+

??1??2

????

??1??2

????

这里的“????”不是分数，“+”也不表示求和，只有符号意义，他表示因素ui对模糊集A的隶属度是ai。

第四步：单一素模糊评判

单独对一个因素进行评判，以确定被评对象对评语集的隶属度，这是单因素模糊评判。设因素ui对评语集中的元素vj的隶属度为rij，则因素ui对评语集V的隶属度可用模糊集合R表示：

Ri=??1+??2+?+????

Ri简称为单因素评判集，是评语集V上的一个模糊子集，可以简记行向量为： Ri=(ri1,ri2,?,rin)

各个单因素评判集组合在一起构成矩阵R称为单一素评判矩阵。 ??1??11???1??R=(?)=(???)

????????1???????第五步：模糊综合评判

设评语集V上的等级模糊子集为： B=++?+ ??1??2

????

??1??2

????

????1????2

??????

????

综合评判公式为：B=A°R

B称为模糊综合评价集，而“°”为模糊合成算子。 模糊合成算子的模型

模型I M(∧，∨)——主因素决定型 bj=∨

模型 II M(*，∨)——主因素突出型

模型III M(∧,⊕)——主因素突出型

模型IV M(*,+)——加权平均模型 bj=∑????=1??????????? (j=1,2,?,m).

层次分析法

层次分析法（简称AHP）是美国运筹学家T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出的对复杂问题做出决策的一种简明有效的方法。随着科学技术的发展，对以前在社会、经济、生物、组织管理等领域只能定性描述的因素、事物和概念等，现在迫切需要做定量化的研究。层次分析法把定性分析与定量分析相结合，在一定程度上满足了这种需要。

根据问题的总目标和决策方案分为三个层次：目标层G，准则层C和方案层P（图），然后应用两两比较的方法确定决策方案的重要性，即得到决策方案P1，P2，…，Pn相对于目标层G重要性的权重，从而获得比较满意的决策。

目标层准则层方案层准则C1决策目标G准则C2… 准则Cm方案P1方案P2... 方案Pn 层次分析法可分为以下四个步骤。 第一步：明确问题，建立层次结构。

首先要对问题有明确的认识，弄清问题范围、所包含的因素及其相互关系、解决问题的目的等，然后分析系统中各因素（决策方案）之间的关系，建立系统的递阶层次结构：目标层、准则层和方案层。

第二步；构造判断矩阵。

对同一层次的各因素关于上一层中某因素的重要性进行两两比较，构造判断矩阵。例如，某一层次的各因素B1，B2,?,Bn对上一层中某因素A的相对重要性，用两两比较法得到判断矩阵A=（aij）n*n，其中aij常取值如表所示。 Bi比Bj aij 相同 1 稍强 3 强 5 很强 7 绝对强 9 相同 1 稍弱 1/3 弱 1/5 很弱 1/7 绝对弱 1/9 在相同到绝对强每两个等级之间可依次用2，4，6，8将其量化，即aij取1，2，?,9或它们的倒数，因此判断矩阵又称正互反矩阵，并且满足 aii=1,aij=1/aji,i,j=1,2,?,n.

第三步：层次单排序及其一致性检验。 层次单排序

在构造判断矩阵A之后，求出判断矩阵A的最大（绝对值）特征值λmax，再利用它对应的

特征方程Aω = λmaxω解出相应的特征向量ω ，然后将其特征向量ω归一化，即为同一层次的各因素相对于上一层中某一因素的重要性权重。这一过程称为层次单排序。 一致性检验

在构造判断矩阵进行两两对比判断时，由于客观事物的复杂性，我们的认识常常带有主观性和片面性。例如，对三个因素xi,xj,xk进行两两比较，由xi与xj相比得到aij,由xj与xk相比得到ajk,再由xi与xk相比得到aik，就可能出现aij ajk ≠aik。因此，在构造判断矩阵A之后，还必须进行一致性检验。 对判断矩阵一致性检验的步骤如下：

（1） 用来衡量判断矩阵不一致程度的数量指标称为一致性指标，记为CI

CI=

??????????????1

（2） 为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI。方法为随机构造500个成对比较矩阵，

A1，A2，?,A500, 则可得一致性指标CI1,CI2,?,CI500,则有

RI=

????1+????2+?+????500

???500

???1

于是，随即一致性指标RI的取值如表所示 n RI 1 0 2 0 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 （3） 一致性比率CR=CI/RI，一般，当一致性比率CR<0.1时，认为判断矩阵A的不一致

程度在容许范围内，有满意的一致性，通过一致性检验。否则要重新构造判断矩阵A，对 aij 加以调整。

权重的计算方法 和法

先将判断矩阵A的每一列归一化，得到矩阵B=（bij）n*n,然后按B的行求和，即ωi=∑????=1??????,i=1,2,?,n. 其中bij=aij/∑????=1??????,i,j=1,2,?,n. 然后将矩阵W归一化，就得到要求的权重。 根法

直接将判断矩阵A的每一行元素求积，然后开n次方，即ωi=√∏????=1?????? ,i=1,2,?,n. 同上，再将矩阵W归一化，就得到所求的权重。 第四步：层次总排序及其组合一致性检验。 层次总排序

计算方案层的各因素对于目标层的相对重要性权重，称为层次总排序。这一过程是由最高层（目标层）到最底层（方案层）逐层进行的。 设某一层A包含m个因素A1，A2，?,Am,它们关于上一层中某因素G的权重为a1,a2,?,am，其下一层B包还n个因素B1，B2，?,Bn，它们关于Ai的权重为bi1,bi2,?,bin,那么B1，B2，?,Bn关于G的权重为c1,c2,?,cn,其中cj=∑????=1??????????,j=1,2,?,n。 组合一致性检验

组合一致性检验也是由最高层（目标层）到最底层（方案层）逐层进行的。设B层的n个因素B1，B2，?,Bn关于Ai的层次单排序一致性指标为CIi,随即一致性指标为RIi,那么B1，B2，?,Bn关于G的组合一致性指标为

CR=∑??∑????=1??????????

??=1??????????

??

类似的，当CR<0.1时，层次总排序结果具有满意一致性，否则需要重新调整判断矩阵A。