《理论力学》静力学典型习题+答案

d2V4?F(kb?F) 2d?k由上式可知：

1． 当cos??1?2Fkb稳定平衡位置； 2． 当cos??1?2Fkb不稳定平衡位置。 4-15

y

h

C

θ β

θ

x O

解：取半径为r的半圆柱为研究对象，圆心为C。半圆柱作纯滚动，有一个自由度，取两个半圆心连线与y轴夹角?为广义坐标。作用在半圆柱上的主动力为重力，系统为保守系统，如图所示，其中h

2dV且kb?F时，即y?2?0d?2k2dV且kb?F时，即y?2?0d?2kF(kb?F)是

F(kb?F)是

?4r3?

。由于半圆柱作纯滚动，有：

?r??R

（1）

取坐标原点为零势能位置，则半圆柱在任意位置的势能为：

V?mgzC?mg[(R?r)cos??代入（1）式有：

4rcos(???)] 3?V?mg[(R?r)cos??4rR?rcos(?)] 3?rdV4R?r?mg(R?r)[sin(?)?sin?] d?3?r由平衡条件dV

d?

?0可得??0为平衡位置。势能V的二阶导数：

d2V4(R?r)R?r?mg(R?r)[cos(?)?cos?] 2d?3?rr由上式可得当R

3?(??1)r，??0是稳定的。

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