结构动力学复习

第一章 结构的动力学引言

（1）动力问题与静力问题的两大区别：（1）动力荷载随着时间的变化，即激励的与时俱变性质，动力荷载是一个随时间变化的幅值、方向和作用点，由此得到与时俱变的挠度和应力，就构成了动力响应；（2）加速度在结构动力问题中起了主要作用，如果惯性力对结构的挠度和内应力有显著影响时，就需要研究它的动力问题了。 （2）定性荷载：荷载已知为时间的函数，如简谐荷载（周期荷载）、冲击荷载和地震荷载（非周期荷载），一个指定的结构系统对一个确定性的荷载叫做确定性分析。随机性荷载：荷载的时间历程并不十分完全清楚，而只知道其统计含义。

（3）结构的动力特征：指结构体系的周期、频率、振型及其阻尼特征。

第二章 SDOF系统

（1）线性粘滞阻尼系数C，阻尼力为：

（2）例2.1直接应用了牛顿第二定律，得到单自由度系统的基本方程： 该方程中的系统位移是相对于静态平衡位置的，系统的总位移则要和静力计算结果组合叠加获得，叠加条件：k和c为常数，只有对线弹性结构的小变形问题才能叠加。 （3）例2.2在支座激励（基础运动）下的运动方程：

基础运动具有在作用力上附加一个相反的惯性力的效果，该方程也是相对运动。 （4）虚位移原理：一个系统任何的任意位移，其实际力与惯性力所做的虚功之和必须为零，就是：

（5）连续系统的虚位移原理——假定振型法：虚位移在一定程度上近似于连续系统的挠曲特征，这种方法成为假定振型法。

第三章 SDOF系统自由振动

（1）线性SDOF系统的运动方程：

无阻尼固有圆频率； 粘滞阻尼因数； 临界阻尼系数

该运动方程一部分是强迫振动，一部分是固有运动，其微分方程的通解由一个特解和齐次解组成：

（2）无阻尼SDOF系统的自由振动：运动方程：

通解一般形式为：

根据初始条件 可以得到其解： 再次变形可以得到：

其中， 为无阻尼固有周期， 为无阻尼固有频率； 为幅值； 为相位角。 （3）粘滞阻尼SDOF系统的自由振动：运动方程：

根据阻尼因数 的大小分为：弱阻尼（ ），临界阻尼（ ）和过阻尼（ ） 弱阻尼： 为阻尼固有圆频率，为 相应的 为阻尼周期，为 运动方程通解为： 叠加后为：

临界阻尼： 响应为 过阻尼： 响应为

过阻尼阻尼大小接近1时，衰减越快。

（4）一个简单的SDOF系统的无阻尼固有频率可由静态测试确定，可以得到： 若系统的阻尼较小（ ），则得到的 就接近等于 。

（5）利用SDOF系统自由振动的衰减记录，可以用两种方法确定阻尼因数 对数衰减法：测试运动的幅值在一个循环 — 中，其 值复原到循环的开始 则：

规定对数衰减率 ：

如果弱阻尼（ ）时，对数衰减率近似于： 可以得到阻尼因数： 半幅值法：根据振幅的包络曲线：

选取包络图上两点 ，使得其值满足：

则两点间隔为N个阻尼周期，N可以不是整数，则有： 当阻尼很小 时，可以简化成公式：

第四章 SDOF系统简谐激励

（1）无阻尼SDOF系统简谐激励下的运动方程：

无阻尼SDOF系统的稳态响应（即强迫振动）的解的形式为：

稳态响应的幅值为： 静态挠度为： 频响函数定义为： 其中r叫做频比：

频响函数的幅值大小为： 叫做稳态放大因数，即增值。 由此可到的稳态响应为：

无阻尼SDOF系统总响应（即稳态响应与固有运动之和）为：

总响应的特点：稳态响应与激励频率相同，相位据r而定；

强迫振动和固有运动出现拍的现象，即时而相互增强，时而相互抵消； 最大总响应比最大稳态响应大：总动力放大因数为 共振：r=1时，用假定解求解

（2）粘滞阻尼SDOF系统简谐激励运动方程：

稳态响应与激励不同相位，稳态响应的解可写成： 则稳态响应方程可以写成： 其中：

可以得到，稳态放大因数 和相位角

稳态响应的特征：a）稳态响应的频率与激励相同；b）稳态响应的幅值是激励幅值和频率以及系统固有频率和阻尼因数的函数，稳态放大因数明显>1或<1；c）稳态响应与激励不同相位；d）共振时，r=1，仅用阻尼力来限制幅值（ ），且 。 总响应为：

第五章 SDOF系统特殊形式激励

（1）粘滞阻尼SODF系统理想阶跃输入运动方程： 边界条件： 解为：

响应比，即动力荷载因数，为动力响应与静态变形之比，定义为： 理想阶跃输入下的响应比：

对于无阻尼系统，其理想阶跃输入下响应比为： 其最大响应 ，则2经常为安全因数应用在快速加载设计中。 （2）无阻尼SDPF系统矩形脉冲响应

无阻尼SDPF系统斜坡荷载响应

可以认为荷载若是慢速加载，并且作用时间超过3T时，动力效应可以忽略。 （3）无阻尼DPF系统短时作用脉冲响应为：

无阻尼SDOF系统单位脉冲响应函数，即I=1时： =1的粘滞阻尼SDOF系统单位脉冲函数：

第六章 SDOF系统一般动力激励

（1）三种方法得到一般动力荷载系统响应的解析表达式：杜哈梅积分法（时域解），拉普拉斯变换法（拉域解）和傅立叶变换法（频域解）。

（2）杜哈梅积分法：叠加原理为依据，仅对线性系统有效。 无阻尼SDOF系统响应的杜哈梅积分表达式：

有阻尼SDOF系统响应的杜哈梅积分表达式：

（3）反应谱是SDOF系统以某一系统参数，一般为无阻尼固有频率为函数的一个已知输入的最大响应曲线（即位移、应力、加速度等）

第七章 SDOF系统周期激励——频域分析

（1）周期激励——傅立叶级数展开：以一个时间为函数的p(t)，其周期为T1，就能用傅立叶级数展开，分解许多简谐分量。可以表示为：

（2）非周期激励——傅立叶积分：它是由傅立叶级数，令周期T1无穷大得来的。

傅立叶变换对：

（3）复频响应与单位脉冲响应的关系：

第八章 连续系统

（1）轴向变形基本假定：横截面保持为平面，并垂直于杆件的轴；材料为线弹性；在给定截面上，材料特征为常数，也可随X面变。

三个基本方程式：

线弹性杆的轴向振动运动方程： 边界条件：外力-自由端 固定端

（2）线弹性梁横向振动的伯努利-欧拉理论假定：梁上有一根沿x轴的中性轴，表现即没有拉伸也没有压缩；在未变形的梁中，横截面垂直于中性轴，并保持平面，在变形的中性轴上亦保持垂直，忽略横向剪切变形；材料为线弹性，任何截面性质相同；y、z向应力相对x向来说可忽略不计；x-y为柱主平面。可以忽略转动惯量。

横向强迫振动的运动方程：

该公式只是对于相对长的薄壁梁成立。 边界条件：固定端 简支端

外力-自由端

（3）哈密顿原理：

（4）铁木辛科梁：以哈密顿原理推导的运动方程和边界条件，考虑剪切变形和转动惯量。也适用短粗梁。

第九章 连续系统自由振动

（1）轴向自由振动：

边界条件：固定端 自由端

（2）伯努利-欧拉梁横向自由振动：

边界条件：固定端 简支端 自由端

（3）连续系统固有频率瑞利近似表示法：即假定振型法，用来估算无阻尼连续系统基频。

瑞利商：

（4）固有模态特征： 正交性：

第十章 MDOF系统

（1）无阻尼MDOF系统运动方程：

其中m为质量矩阵，k为刚度矩阵，u为位移矢量，p(t)为荷载矢量。 m是对角阵，k中有非对角项，则该系统就称为有刚度耦联。

（2）拉格朗日方程：

用虚位移原理和哈密顿原理推导出来的，其中各广义坐标之间必须是独立的，并且能表达成

的形式。对于非线性和线性系统都是正确的。

第十一章 无阻尼2-DOF系统自由振动

（1）无阻尼2-DOF系统的自由振动运动方程： 假设的简谐解的形式： 得到特征方程：

根据特征值 可以得到固有圆频率

定义 ，这个比为相应于固有圆频率 的固有模态，即振型。 运动方程的通解为：

（2）假定振型模态的特征就是计算出的频率太高，并且所计算的高频时不太精确的； 集中质量模型所给出的频率是低于精确解的值的。 （3）无阻尼2-DOF系统简谐激励相应——振型叠加：

模态质量矩阵 ；模态刚度矩阵 ；模态力向量

第十二章 MDOF系统自由振动

（1）正定矩阵：

具有刚体自由度系统、正定的k除外，于是位移u可作为刚体模态，在这种情况下k可称为是半正定的；即V可以为零（刚体模态）或者大于零（变形模态）。当k为半正定， 一个矩阵的行列式为零时称为奇异矩阵。