静电场中的电介质习题及答案

容与相应电阻之间满足上式关系。

33、两块大金属板相距（a+b)，其间充满两种均匀导电介质，介质的介电常数和导电率分别为，厚度分别为a和b，如图（a）。在t=0时刻，突然将一恒定的电压U加于两电极间，求两介质中的电场，电流密度及交界面上的电荷分布随时间的变化。

解：当两极板间加上电压后，就在其间形成电场，假定介质的极化过程十分迅速，在介质中立刻建立起静电场，但在两种介质的交界面上，尚无面分布的自由电荷，因此在交界面上，静电场满足电位移矢量法向边界条件，即 或 但

由上两式解得

图（a）

由于介质有导电性，在电场作用下会形成电流。在t=0时刻，两种介质中的电流密度各为

由于 ，于是在两种介质的交界面上会积累起电荷，积累起来的电荷所造成的附加电场必定削弱电流密度较大一方的电场，增强电流密度较小一方的电场。随着电荷积累的增多，电流密度大的一方电流逐渐减弱，小的一方电流逐渐增强，直到电流密度相等后，才达到稳定。设想在界面附近作一圆柱形的封闭曲面，使底面与交界面平行，如图（b）所示。把电流连续性方程应用于这一封闭曲面，并注意到高斯定理，得

图（b）

或

但

消去得 令

上式变为

解此方程得

其中A为积分常数，可由初始条件求得。 于是 得 同理

，得电流密度为

界面上的电荷密度为

图（C）

达到稳定值。此时有

，电流密度法向连续。

和时，D、E、j的空间分布如图(c)所示。

34、计算把均匀的电介质插入带电平行电容器前后电容器的电容，极板上的电量，两极间的电势差，电容器的能量以及插入过程外力所作的功。假定介质片正好充满电容器．介质的相对介电常数为。

解：当介质片刚从电容器边缘插入电容器时，电容器边缘的电场分布发生的畸变，介质被极化，如图所示。如果没有外力作用于介质片使之徐徐移入电容器，则介质片在电场力的作用下将获得加速度。当介质片正好全部进入电容器时，场的畸变消失，但介质片具有动能，介质片将在电容器中振荡，直到它的全部机械能消耗完为止。

（1）保持电压恒定（电容器接在电池两端），设电容器极板的面积为S，两极之间的距离为L。

电介质插入前有关物理量分别为

电介质插入后有关物理量分别为

电介质插入前后电容器极板上的电量和电容器的储能变化为

在介质片插入电容器的过程中，电池作的功为

即电池作的功为电容器所增加能量的两倍，其中一半用于增加电场能，一半为电场对于电介质板所作的机械功

（2）保持电量恒定（充电后与电池切断） 电介质插入前有关物理量分别为

电介质插入后有关物理量分别为