静电场中的电介质习题及答案

径向

（2）导体球与无限远处构成球形电容器如图所示 根据球形电容器的电容公式有： 当时

根据上式得半球形电容器的电容为：

本题中的球形电容器可看作是两个半球形电容器并联而成。其中一个是空气，别一个是介质，每个半球形电容器电容为

根据电容并联性质得，电容器的总电容，总电压分别为

两个半球形电容器所带电量分别为

两个半球表面上的电荷面密度分别为

26、两导体球，半径均为R，球心间距为d，有一均匀电场E0，其方向垂直于两球心的联线，假设Rd，球两球之间的相互作用力。 解：

图26-1 图26-2

设导体球表面的感应电荷为余弦分布，如图26-1所示，在球内产生的附加电场为，则附加电场与外电场抵消（不考虑另一导体球感应电荷影响），使球内场强为零满足静电平衡条件。由此得

在球外可将余弦分布的带电球壳等视为偶极子，如图26-2所示，其电偶极矩为

电偶极子处产生场强

电偶极子中具有的电势能（之间的相互作用能）为

两球间的相互作用力为

27、一半径为R的导体球浮在某种介质溶液中，导体球的质量密度为，介质溶液的相对介电常数为，质量密度为，且，试用计算必须在此导体球上放置多少电量的电荷，才能使它正好有一半浸没在介质溶液中。

解：设导体球放置电量为Q的电荷时，它正好一半浸没在介质溶液中。导体球在介质溶液中受到三个力的作用即导体球自身的重力、导体球受到的浮力和极化电荷对它的吸力，如图27-1所示，处于平衡状态时，有 ……①

导体球所受浮力为 ……②

导体球所受到的重力为

图27-1

为了球极化电荷对导体球的吸力为，先求极化电荷密度，导体球表面各介质表面电荷分布如图27-2所示，作球面为高斯面，根据高斯定理得

……④ 图27-2 在介质交界面上有

……⑤ 由④、⑤式得

极化电荷密度为 ……⑥

极化电荷为半球面分布，在球心处产生的场为 ……⑦

极化电荷对导体球的吸力为

……⑧

将②、③、⑧式代入①式得

整理得

28、有一半径为a,相对介电常数为的均匀介质小球，与另一半径为b，电势为的导体小球相距为r(r>>a、b)。求介质小球受力的近似表达式。 解：设导体球带电量为，由高斯定理得

导体球的电势为

由此得导体球所带电量为

导体球在介质球处产生的场可视为匀强场，即在介质球心处产生的场强为

介质球在均匀外场作用下发生极化，设极化强度为，极化电荷为余弦分布，即

极化电荷在介质球内产生的场强为

介质球内总场强为

介质极化强度为 所以

介质球的等效电偶极矩为

介质球的等效电偶极矩与外场之间的相互作用能为

介质球外场中所受的力为

29、两均匀带有等量异号电荷的无限大平面导体板之间放一均匀的介质球，球的半径为R极化率为 ，求球内的场强，假定介质球离两平板都相当远，球处在场中时，带电板上的电荷仍然均匀分布，因此，自由电荷单独产生的场仍是均匀场。 解法1：分步极化法

设想介质球的极化是分若干阶段进行的，最终达到静电平衡。在介质球刚放在电场中瞬时，极化电荷尚未形成，因而介质球内的场强就是外场，它使球均匀极化，极化强度为

由引起的极化电荷在球内所产生的附加场强为

附加电场引起的附加极化，附加的极化强度为

附加的极化强度产生的附加场强为

附加场强又引起新的附加极化，这样的过程一步一步继续下去，在第n步，附加极化强度为

于是介质球内的场强等于自由电荷的场强和附加场强之总和，即

根据 得

以上能求得正确结果是因为均匀球内部的场是均匀的，而且介质的极化率应比较小，同时极化不影响自由电荷的分布。

解法2：均匀的介质球在均匀电场中的极化是均匀的，而均匀极化的介质球表面的极化面电荷在球内单独产生的场强为

即是与极化强度的方向相反的均匀电场，若介质中的场强为，则 于是 所以