静电场中的电介质习题及答案

20、一半径为R的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为，设介质是线性、各向同性和均匀的，相对介电常数为，求（a）电介质球内的静电能；（b）这一带电系统的总静电能。

解：（a）根据对称性和高斯定理得球内外的电位移矢量和电场强度分别为

电介质球内的静电能为

（b）带电系统的总静电能为

21、平行板空气电容器两极板A、B相距为，竖直地插在相对介电常数为、密度为的均匀液态电介质中（如图21-1所示），两极板间保持着一定的电势差U，则液态电介质在两板间会上升一定高度h，若不计表面张力作用，试求作用在液体电介质表面单位面积上的平均牵引力T和液面上升的高度h。 解：带电的平行板电容器插入液态电介质中使液体沿与平板电容器两板的分界面产生极化电荷，在静电吸引力作用下液体被吸上来，直至液体重力与静电吸引力平衡为止。 如图21-2所示，高度为h的液态电介质所受到的重力为

电容器是由两部分并联组成，设介质进入极板间的高度为时，两部分的电容分别为 ， 电容器的电容为

电容器储能为

由虚功原理知，静电力作功为 图21-1

根据平衡条件得

整理上式介质的高度为 图21-2

作用在液态电介质表面单位面积上的平均牵引力为

22、当用高能电子轰击一块有机玻璃时，电子渗入有机玻璃并被内部玻璃所俘获。例如，当一个的电子束轰击面积为25cm、厚为12mm的有机玻璃板（相对介电常数）达1s，几乎所有的电子都渗入表面之下约5~7mm的层内。设这有机玻璃板的两面都与接地的导体板接触，忽略边缘效应，并设陷入的电子在有机玻璃中均匀分布，如图22-1所示。 （1）求带电区的极化电荷的密度； （2）求有机玻璃表面的极化电荷密度；

（3）画出D、E、（电势）作为电介质内部的位置函数的图形； （4）求带电层中心的电势；

（5）求在两接地导体板之间的没有电荷区域内的场强； （6）求这有机玻璃板里贮存的静电能。

解（1）由电流强度定义知

带电区电荷体密度为 ……① 图22-1

如图22-2所示在带电区内作柱形高斯面，坐标原点在对称中心，由高斯定理得层内任一点处的值为 ……②

2

……③ 图22-2 ……④

取，得带电层表面处的极化强度为 ……⑤

带电层表面极化电荷面密度为 ……⑥

（2）作一个包围带电层的柱形高斯面，如图22-2所示，由高斯定理得

……⑦ ……⑧ ……⑨

有机玻璃表面的极化电荷面密度为 ……⑩

(3)带电层内任一点电势为 ……

带电层外任一点电势为 ……

随x变化规律曲线如图22-3所示

图22-3

（4）取x=0代入?式得，带电层中心处的电势为

(5)由⑧式得带电层外的场强为

(6)有机玻璃内贮存的静电能为

23、在一无限大均匀介质内，挖出一无限长圆柱形真空区，圆柱形的横截面半径为R。设介质内场强E均匀，且与圆柱形轴线垂直，求圆柱形轴线上的一点的场强。

解：介质在与真空的分界面上出现极化电荷，轴线上一点O的场强是介质中场强和极化电

荷在轴线上O点的场强的矢量和。极化电荷面密度为 （为极化强度，n为表面法线方向）

如图所示，取一宽度为的无限长带电线，其上电荷线密度为

该带电线在轴线上产生的场强为

极化电荷在轴线上产生的场强为

所以轴线上一点的总场强为

24、一平行板电容器两极板间距为d，其间放置一块厚度为t的介质平板，板面与极板成倾角，介质的相对介电常数为，若两极分别带上面密度为的电荷，试求两极板间的电势差。（设倾角为较小，边缘效应可以忽略）

解：设两极板的边长为和的长方形，建立坐标如图所示，上、下两板一小面积构成平行板电容器，该电容器看成由两个电容器串联而成，其中一个是空气，另一个是介质，每个电容器中电容分别为

根据电容器串联性质得

式中为极板面积 极板上电量为

极板间的电势差为 图24-1

25、半径为R1的半导体球，一半浸没在相对介电常数为的半无限而均匀的液体介质中，另一半露在真空中，若此导体球所带的电量为Q，（1）证明：导体球外任一点的电场强度均沿求的径向；（2）求出导体球表面上的面电荷分布 解：（1）如果导体球外任一点的电场强度不沿径向则上半球和下半球表面电荷分布将不均匀。它们在球心处产生的合场强不为零，这与导体球内场强为零相矛盾。故球外任一点的场必沿