静电场中的电介质习题及答案

（2）在圆柱端部中心的场由体极化电荷和面极化电荷共同产生。在距原点处，取一圆盘，厚度如图所示，其上电量为

圆盘上电荷面密度为

该圆盘在原点O处产生的电场为

体极化电荷在原点O处产生的电场强度为

面极化电荷在原点O处产生的电场强度为

原点处电位移矢量为

3、一块柱极体圆片，半径为R，厚度为t，在平行于轴线的方向上永久极化，且极化是均匀的，极化强为P， 试计算在轴线上的场强E和电位移D（包括圆片内外）。 解： 在垂直x轴的两个外表面均匀带正负面极化电荷，如图所示，其面密度为

对在圆片内任一点而言两表面相当无穷大均匀带电平面，圆片内电场强度为

电位移矢量为

对圆片内外轴线任一点而言，两表面相当于均匀带电圆盘。 在距原点处，正负带电圆盘产生的场强分别为

该处的总电场强度为

因为t很小，用台劳级数将上式在t=0处展开，取前两项 取

则有 所以

电位移矢量为

4、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图如示），称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为，结外电荷体密度，结内电荷的体分布为式中e为电子电量，k为常数，试求p-n结内电场强度和电势的分布，并画出、和随变化的曲线。 解：建立坐标轴如图4-1所示，在结内距原点处取宽度为的无限大平面，该平面电荷密度为

该带电平面在结内P点产生的场强为

OB区电荷在P点产生的场强为

图4-1

所以

OP区电荷在P点产生的场强为 图4-2 所以

PA区电荷在P点产生的场强为 图4-3 所以

图4-4 由叠加原理得P点的总场强为

场强随变化曲线如图4-3所示 由高斯定理知，结外的场强为

在结内任意点P的电势为

电势随变化曲线如图4-4所示，结内电荷体密度随变化曲线如图4-2所示。

5、半导体器件的p-n结中，n型内有不受晶格束缚的自由电子、p型区内则有相当于正电荷的空穴。由于两区交界处自由电子和空穴密度不同，电子向p区扩散，空穴向n区扩散，在结的两边留下杂质离子，因而产生电场，阻止电荷继续扩散，当扩散作用与电场的作用相平衡时，电荷及电场的分布达到稳定状态，而在结内形成了一个偶电区（如图5-1所示），称为阻挡层。现设半导体材料的相对介电常数为，如果电荷的体分布为

n区： p区：

式中是常数，为电子数且，其中各为p区和n区的厚度，试求结内电场强度和电势的分布并画出、和随变化的曲线。

解：建立坐标轴，如图5-1所示，在P区内距原点处找一个考察点P，P点的场强由三部分即BO段、OP段和PA段体分布电荷产生的。每一段即可看成是由许多无限大带电平面组成的，其电荷面密度为

图5-1 图5-2 图5-3 由得

图5-4

所以，P点的总场强为

图5-5

取原点电势为零，由电势定义得

在n区内取一点P，如图5-2所示 同理得各段在P点的场强为

（突变结）

所以，P点的总场强为

同理可得P点的电势为

画出、和随变化曲线如图5-3、5-4、5-5所示

6、平行板电容器的极板面积为S，间距为d，其间充满线性的、各向同性的电介质。介质的相对介电常数εr在一极板处为εrl，线性地增加到另一极板处为εr2。略去边缘效应。 （1）求这电容器的电容C；

（2）当两极板上的电荷分别为Q和-Q时，求介质内极化电荷体密度和表面上极化电荷的面密度。

解：（1）建立坐标轴，如图所示 设 ， 则 由此得

因此板间任一点的介电常数为

将平行板电容器的电容视为无限多个平行板电容元组成，如图所示，取距坐标原点为，厚度为一个电容元，该电容元的电容为

其倒数为

积分得 所以

(2)作一圆柱形高斯面S，如图中虚线所示，由介质中的高斯定理，得电位移矢量为

由与的关系和根据电位移矢量定义式得，极化强度为

极化电荷体密度为

正极板处的极化强度为

板表面上的极化电荷面密度为