静电场中的电介质习题及答案

4、如果电介质中各的（ ）相同，这种介质为均匀电介质。如果电介质的总体或某区域内各点的（ ）相同，这个总体或某区域内是均匀极化的。

5、成立的条件是（ ）。 介质为均匀介质

6、在两种不同的电介质交界面上，如果交界面上无自由电荷，则= ( )。

7、介质中电场能量密度表示为 只适用于（ ）介质。适用于( )介质。

各向同性的均匀线性 线性

8、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S，极反间距为L，板间介电常数为）然后使电容器充电至电压U。在这个过程中，电场能量的增量是（ ）。

9、平行板电容器的极板面积为s，极板间距为d中间有两层厚度各为的均匀介质（）,它们的相对介电常数分别为。(1)当金属板上自由电荷的面密度为时，两层介质分界面上极化电荷的面密度= ( )。（2）两极板间的电势差( )。（3）电容C= （ ）。

10、如图所示一平行板电容器充满三种不同的电 介质，相对介电常数分别为。极

板面积为A，两极板的间距为2d,略去边缘效

应，此电容器的电容是（ )。

11、无限长的圆柱形导体，半径为R，沿轴线单位长度上带电量λ，将此圆柱形导体放在无限大的均匀电介质中，则电介质表面的束缚电荷面密度是（ ）。

12\\半径为a的长直导线，外面套有共轴导体圆筒，筒的内半径为b，导线与圆筒间充满介电常数为的均匀介质，沿轴线单位长度上导线带电为λ，圆筒带电为-λ,略去边缘效应，则沿轴线单位长度的电场能量是（ ）。

13、一圆柱形的电介质截面积为S，长为L，被沿着轴线方向极化，已知极化强度沿X方向，且P=KX（K为比例常数）

坐标原点取在圆柱的一个端面上，如图所示 则极化电荷的体密度（ ） 在X=L的端面上极化电荷面密度为（ ）

极化电荷的总电量为（ ）。

14、在如图所示的电荷系中相对其位形中心的偶极矩为（ ）。 0

四、问答题

1、电介质的极化和导体的静电感应，两者的微观过程有何不同？

答：从微观看，金属中有大量自由电子，在电场的作用下可以在导体内位移，使导体中的电荷重新分布。结果在导体表面出感应电荷。达到静电平衡时感应电荷所产生的电场与外加电场相抵消，导体中的合场强为零。导体中自由电子的宏观移动停止。在介质中，电子与原子核的结合相当紧密。电子处于束缚状态，在电场的作用下，只能作一微观的相对位移或者它们之间连线稍微改变方向。结果出现束缚电荷。束缚电荷所产生的电场只能部分地抵消外场，达到稳定时，电介质内部的电场不为零。

2、为什么要引入电位移矢量D？E与D哪个更基本些？

答：当我们研究有电介质存在的电场时，由于介质受电场影响而极化，出现极化电荷，极化电荷的场反过来改变原来场的分布。空间任一点的场仍是自由电荷和极化电荷共同产生即：

因此，要求介质中的，必须同时知道自由电荷及极化电荷的分布。而极化电荷的分布取决于介质的形状和极化强度，而,而正是要求的电场强度。这样似乎形成计算上的循环，为了克服这一困难，引入辅助量。由知，只要已知自由电荷，原则上即可求，再由求。故更基本些。 3、把平行板电容器的一个极板置于液态电介质中，极板平面与液面平行，当电容器与电源连接时会产生什么现象？为什么？

答：当电容器与电源连接时，电容器将离开电介质。这是因为当考虑电容器边缘效应时两极板外表面也带上等量异号电荷，当其中一极板平面与液面平行时，由于介质极化，该极板电荷所受到的静电力小于另一极板电荷所受到静电力。且二者方向相反电容器整体受一个向上的合力作用。

五、证明题

1、一个半径为R的电介质球，球内均匀地分布着自由电荷，体密度为，设介质是线性、各向同性和均匀的，相对介电常数为，试证明球心和无穷远处的电势差是：

证明：当时以球心为心，为半径作球面（高斯面） 如图虚线所示，由对称性和的高斯定理得

由得

当时取高斯面如图虚线所示，同理得

取无限远处电势为零，则球心与无限远处的电势差等于球心电势。根据电势与场强的关系得

六、计算题

1、将一个半径为a的均匀介质球放在电场强度为E0的均匀电场中；电场E0由两块带等量异号电荷的无限大的平行板所产生，假定介质球的引入未改变平板上的电荷分布，介质的相对介电常数为εr，

（1）求介质小球的总电偶极矩

（2）若用一个同样大小的理想导体做成的小圆球代替上述介质球（并设E0不变），求导体球上感应电荷的等效电偶极矩。

解：（1）均匀介质球放在均匀电场中将被均匀极化，故只有球面上有极化电荷，设极化电荷面密度为，在球心产生的电场强度为，则球心的场强为 ……① 如图1-1因 ……②

由于余弦分布带电球面在球内产生匀强电场，所以根据对称性可得球内的场强为

……③ 图1-1 其方向与方向相反 所以 ……④ 根据与的关系

……⑤ 由④、⑤式得

由极化强度定义得介质球的总电偶极矩为

……⑥

（2）将导体球放在均匀电场中，导体球感应电荷面密度为余弦分布，如图1-2所示设 根据对称性则球内的场强为

……⑦ 其方向与方向相反 由静电平衡条件得

图1-2 ……⑧

在球面上取一电偶极子，电量为偶极子臂为，根据对称性，元电偶极矩为

……⑨

由⑧、⑨式得感应电荷的等效电偶极矩为

2、一圆柱形电介质长为L，其横截面的半径为R，被沿着轴线方向极化，极化强度（k为一常数），设坐标原点O在介质圆柱内左端面的中心，此外无其它电场源，试求： （1）在介质圆柱中心一点的电场强度E和电位移D； （2）在坐标原点O处的电场强度E和电位移D。 解：极化电荷的体密度为

即介质内均匀地分布差负的体极化电荷，在的端面上的极化电荷面密度为

在的端面上的极化电荷密度为

（1）在圆柱中心体极化电荷不产生场，只有在X=L处而极化电荷产生场，根据均匀带电圆盘轴线上的场强公式得

由电位移矢量定义式得中心处的为