广东省金山中学、广雅中学、佛山一中2018届高三下学期联考数学文试题

n?3n?1nn(3n?1?1)??∴ Sn? …………………… 14分 222 20．解： (1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，

从而a1＝1，c2＝1. -----------2分

y223?23?21??2

因为点P－2＝1，故b2，1在双曲线x－b2＝1上，所以1＝3. ?3??3?b11由椭圆的定义知 2a2＝

?23?＋（1－1）2＋?3?

22

3，b22＝a2－c2＝2.故

2

于是a2＝y2y2x2

C1，C2的方程分别为x－＝1，＋＝1. ----------6分

332

2

?23?＋（1＋1）2＝23.- --------4分

?3?2

(2)不存在符合题设条件的直线．

(i)若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝2或x＝－2. 当x＝2时，易知A(2，3)，B(2，－3)，所以 →→→

|OA＋OB|＝22，|AB|＝23.

→→→

此时，|OA＋OB|≠|AB|.

→→→

当 x＝－2时，同理可知，|OA＋OB|≠|AB|. ------------------8分 (ii)若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m，

y＝kx＋m，??

由?2y2得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.- -------- ------------------9分 ??x－3＝1

当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两

m2＋32km

个实根，从而x1＋x2＝，xx＝. 3－k212k2－3

22

223k－3m于是y1y2＝kx1x2＋km(x1＋x2)＋m＝2.- ------- ----------------10分

k－3

y＝kx＋m，??22由?yx得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. ??3＋2＝1

因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0. 化简，得2k2＝m2－3.因此

m2＋33k2－3m2－k2－3→→

OA·OB＝x1x2＋y1y2＝2＋2＝2≠0， ---- -----------------12分

k－3k－3k－3

→→→→→→→→→→→→于是OA2＋OB2＋2OA·OB≠OA2＋OB2－2OA·OB，即|OA＋OB|2≠|OA－OB|2. →→→故|OA＋OB|≠|AB|.

综合(i)，(ii)可知，不存在符合题设条件的直线 ． ------------- ------------- -------------14分

21．（1）因为f(1)?1?a?0，所以a?2， ………………………………………1分 2此时f(x)?lnx?x2?x,x?0，

1?2x2?x?1f?(x)??2x?1?(x?0) ……………………………………… 2分

xx由f?(x)?0，得2x2?x?1?0， 又x?0，所以x?1．

所以f(x)的单调减区间为(1,??)． ………………………………………… 3分

（2）方法一：令g(x)?f(x)-(ax?1)?lnx?12ax?(1?a)x?1， 21?ax2?(1?a)x?1所以g?(x)??ax?(1?a)?．……………………………………4分

xx当a≤0时，因为x?0，所以g?(x)?0． 所以g(x)在(0,??)上是递增函数，

又因为g(1)?ln1?13a?12?(1?a)?1??a?2?0， 22所以关于x的不等式f(x)≤ax?1不能恒成立． ……………………………………5分

1a(x?)(x?1)?ax?(1?a)x?1当a?0时，， ag?(x)???xx2令g?(x)?0，得x?1． a11?g(x)?0x?(0,)x?(,??)时，g?(x)?0， 所以当时，；当

aa因此函数g(x)在x?(0,)是增函数，在x?(,??)是减函数．

1a1a故函数g(x)的最大值为g()?ln1a11111?a?()2?(1?a)??1??lna．………7分 a2aa2a

令h(a)?1?lna， 2a11?0，h(2)??ln2?0，又因为h(a)在a?(0,??)是减函数． 24因为h(1)?所以当a≥2时，h(a)?0．

所以整数a的最小值为2． …………………………………………………………9分 方法二：（2）由f(x)≤ax?1恒成立，得lnx?12ax?x≤ax?1在(0,??)上恒成立， 2lnx?x?1问题等价于在(0,??)上恒成立． 12x?x2lnx?x?1g(x)?令，只要a≥g(x)max． ………………………………………… 5分 12x?x21(x?1)(?x?lnx)12因为g?(x)?，令g?(x)?0，得?x?lnx?0．

12(x2?x)22a≥设h(x)??111x?lnx，因为h?(x)????0，所以h(x)在(0,??)上单调递减，

2x2不妨设?1x?lnx?0的根为x0． 2当x?(0,x0)时，g?(x)?0；当x?(x0,??)时，g?(x)?0， 所以g(x)在x?(0,x0)上是增函数；在x?(x0,??)上是减函数．

11?x0lnx0?x0?112??． ………………………7分 所以g(x)max?g(x0)?121x0?x0x0(1?x0)x022111因为h()?ln2??0，h(1)???0

224111??2，即g(x)max?(1,2)． ?x?1所以，此时0x20所以a≥2，即整数a的最小值为2． ……………………………………………… 9分

（3）当a??2时，f(x)?lnx?x2?x,x?0

22由f(x1)?f(x2)?x1x2?0，即lnx1?x1?x1?lnx2?x2?x2?x1x2?0

从而(x1?x2)?(x1?x2)?x1?x2?ln(x1?x2) ………………………………… 11分 令t?x1?x2，则由?(t)?t?lnt得，??(t)?2t?1 t可知，?(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,??)上单调递增．

所以?(t)≥?(1)?1， ………………………………………………………13分 所以(x1?x2)?(x1?x2)≥1， 因此x1?x2≥25?1成立． ………………………………………………………… 14分 2

欢迎访问“高中试卷网”——sj.fjjy.org