高考数学专题训练试题8-数列的综合应用

第一部分 专题二 第2讲 数列的综合应用

(限时60分钟，满分100分)

一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)

1－

1．命题甲：()x,21x,2x2成等比数列；命题乙：lgx，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则

2

甲是乙的( )

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

－－

解析：命题甲：(21x)2＝2x·2x2， 即2(1－x)＝－x＋x2， 得：x＝－2或x＝1.

命题乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)， 即(x＋1)2＝x(x＋3)，得：x＝1. 故甲?/乙，乙?甲，

故甲是乙的必要非充分条件． 答案：B

2．已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( ) A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

1

解析：设a1＝x，且x≠0，则S3＝x＋1＋，

x

111

由函数y＝x＋的图象知：x＋≥2或x＋≤－2，

xxx

∴y∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：D

3．首项为b，公比为a的等比数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，点(Sn，Sn＋

1)在( )

A．直线y＝ax＋b上 B．直线y＝bx＋a上 C．直线y＝bx－a上 D．直线y＝ax－b上

b?1－an?

解析：当a≠1时，Sn＝，

1－a

＋

b?1－an1?Sn＋1＝，

1－a

＋

b?1－an?b?1－an1?

∴点(Sn，Sn＋1)为：(，)，

1－a1－a

显然此点在直线y＝ax＋b上．当a＝1时，显然也成立． 答案：A

35

4．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝，则数列{f(n)}(n∈N*)前20项

22

的和为( )

A．305 B．315 C．325 D．335

535

解析：因为f(1)＝，f(2)＝＋，

222

3353

f(3)＝＋＋，?，f(n)＝＋f(n－1)，

2222

53

所以{f(n)}是以为首项，为公差的等差数列，

22

520?20－1?3

所以S20＝20×＋×＝335.

222

答案：D

5．等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( )

n?n－1?dd

解析：∵Sn＝na1＋d，∴Sn＝n2＋(a1－)n，又a1＞0，公差d＜0，所以点(n，

222

Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．

答案：C

6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：

他们研究过图1中的1,3,6,10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，?这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378

n?n＋1?

解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an＝，第n个正方形数为bn＝n2，

2

由此可排除D(1 378不是平方数)．将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项．

答案：C

二、填空题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分)

7．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an(n∈N*)，则a2009＝________， a2014＝________.

解析：a2009＝a4×503－3＝1，a2014＝a1007＝a252×4－1＝0. 答案：1 0

Sn8．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，记Tn＝2，如果存在正n

整数M，使得对一切正整数n，Tn≤M都成立，则M的最小值是________．

解析：由a4－a2＝8，得2d＝8，∴d＝4. 又a3＋a5＝26，得a4＝13，∴a1＝1.

n?n－1?

于是Sn＝n＋·4＝(2n－1)n，

2

Sn1Tn＝2＝2－＜2.

nn

要使M≥Tn恒成立，只需M≥2， ∴M的最小值是2. 答案：2

1－

9．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n2－，则实数t的值为________．

5

1－

解析：∵Sn＝t·5n2－，

5

t－1

∴a1＝S1＝，

5

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 t·5n1t·5n14t·5n＝－－(－)＝. 2551255125又∵{an}为等比数列，∴q＝

an＋1＝5， an

4t5a24t

∴＝5，即＝＝5，∴t＝5. a1t－1t－1

5

答案：5

三、解答题(本大题共3个小题，共46分)

10．(本小题满分15分)已知数列{an}的首项a1＝1，且点An(an，an＋1)在函数y＝图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求证：弦AnAn＋1的斜率随n的增大而增大．

an解：(1)∵an＋1＝且a1＝1，

an＋1

11∴＝1＋，

anan＋1

11∴－＝1， an＋1an1

∴{}是以1为首项，1为公差的等差数列． an11∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝. ann

111

(2)证明：∵an＝，an＋1＝，an＋2＝，

nn＋1n＋2

∴弦AnAn＋1的斜率

11－an＋2－an＋1n＋2n＋1nkn＝＝＝.

11an＋1－ann＋2－n＋1n

n＋1n

∴kn＋1－kn＝－ n＋3n＋2

?n＋1??n＋2?－n?n＋3?＝ ?n＋3??n＋2?2

＝＞0， ?n＋2??n＋3?

∴弦AnAn＋1的斜率随n的增大而增大．

11．(本小题满分15分)已知数列{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋?＋a10＝144. (1)求数列{an}的通项an；

1

(2)设数列{bn}的通项bn＝，记Sn是数列{bn}的前n项和，若n≥3时，有Sn≥m

anan＋1

恒成立，求m的最大值．

解：(1)∵{an}是等差数列，a1＝1，a2＋a3＋?＋a10＝144， ∴S10＝145.

?a1＋a10?×10

∴S10＝＝145.

2

∴a10＝28.∴28＝1＋(10－1)×d.

x的x＋1

∴d＝3.∴an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.

11

(2)∵bn＝＝ anan＋1?3n－2??3n＋1?111＝(－)， 33n－23n＋1

1111111111

∴Sn＝b1＋b2＋?＋bn＝(1－＋－＋－＋?＋－)＝(1－)＝

34477103n－23n＋133n＋1n

. 3n＋1

n＋1n1

∵Sn＋1－Sn＝－＝>0，

3n＋43n＋1?3n＋1??3n＋4?

∴数列{Sn}是递增数列．

3

当n≥3时，(Sn)min＝S3＝. 10

33

依题意，m≤，∴m的最大值为. 1010

nπnπ

12．(理)(本小题满分16分)数列{an}满足a1＝0，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2)an＋4sin2，22

n＝1,2,3，?.

(1)求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；

2Sk(2)设Sk＝a1＋a3＋?＋a2k－1，Tk＝a2＋a4＋?＋a2k，Wk＝(k∈N*)，求使Wk＞1的

2＋Tk

所有k的值，并说明理由．

解：(1)因为a1＝0，a2＝2，

ππ

所以a3＝(1＋cos2)a1＋4sin2＝a1＋4＝4，

22

a4＝(1＋cos2π)a2＋4sin2π＝2a2＝4. 一般地，当n＝2k－1(k∈N*)时

?2k－1?π2k－1

a2k＋1＝[1＋cos2]a2k－1＋4sin2π＝a2k－1＋4，即a2k＋1－a2k－1＝4.

22

所以数列{a2k－1}是首项为0，公差为4的等差数列， 因此a2k－1＝4(k－1)． 当n＝2k(k∈N*)时，

2kπ2kπ

a2k＋2＝(1＋cos2)a2k＋4sin2＝2a2k.

22

所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k＝2k. 故数列{an}的通项公式为

2?n－1?，n＝2k－1?k∈N*?，??an＝?n *

2，n＝2k?k∈N?.??2

(2)由(1)知，Sk＝a1＋a3＋?＋a2k－1＝0＋4＋?＋4(k－1)＝2k(k－1)，

＋

Tk＝a2＋a4＋?＋a2k＝2＋22＋?＋2k＝2k1－2，

k?k－1?2SkWk＝＝k－1.

2＋Tk2

33515

于是W1＝0，W2＝1，W3＝，W4＝，W5＝，W6＝.

22416

下面证明：当k≥6时；Wk＜1.

?k＋1?kk?k－1?k?3－k?

事实上，当k≥6时，Wk＋1－Wk＝－k－1＝＜0，即Wk＋1＜Wk.

2k2k2

又W6＜1，所以当k≥6时，Wk＜1.故满足Wk＞1的所有k的值为3,4,5. (文)设等差数列{an}的公差为d(d>0)，且满足：a2·a5＝55，a4＋a6＝22.