数形结合教学设计

《数形结合思想的应用》教学设计

一、教学设计的背景 《课程标准》明确指出：“加强数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，引导学生从解题的思想和方法上考虑问题，达到巧妙解题。”可见，数学思想和方法已经提高到不容忽视的重要地位，素质教育下的数学教学更注重数学品质的培养和数学能力的提高。其实数学问题的解决过程就是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，这既是渗透的目的，也是实现走出题海的重要环节。数学思想方法应从平时的“隐含、渗透”阶段进入中考复习时第二轮的“介绍、运用”阶段。

在整个中学数学教学中, 数形结合思想是一种比较一般而又十分重要的思想方法。数形结合思想：就是把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，是抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”或“以数解形”，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。

数形结合的思想贯穿初中数学教学的始终。数形结合思想的主要内容体现在以下几个方面：①以数解形：建立适当的代数模解决有关几何的问题型。②以形助数：建立几何模型(或函数图象)解决有关方程和函数的问题。③数形结合：与函数有关的代数、几何综合性问题。④以图象形式呈现信息的应用性问题。（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

通过考察学生数形结合的思想，可以检测出他们掌握数学基础知识的程度、理解知识的深度及对数学知识的综合运用能力。在初中阶段训练学生利用“数形结合”的方法观察、分析问题，有助于学生学习抽象的知识，对锻炼相应的数学思维也有极大的帮助。 二、教学目标： 1、知识目标

1）理解数形结合的本质：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图像的性质．

2）了解数形结合在解决数学问题中的作用，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决． 2、能力目标

1）学会以数解形、以形助数、数形结合思想进行数学思考和解决问题，培养用数形结合的思想解决问题的意识．掌握将代数问题转化为几何问题、几何问题转化为代数问题的技巧． 2）通过运用数形结合的思想解题，培养学生的观察能力、分析归纳能力，领会数形结合转化问题的思想方法． 3、情感目标

通过本节课的学习，提高学生分析问题和解决问题的能力．培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神．渗透理论联系实际、从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想． 三、教学重、难点

重点：以数解形、以形助数、数形结合。

难点：在代数与几何的结合点上去找出解题思路：如何以数思形、以形思数，从而达到数形结合、解决问题的目的。 四、教学方法

纵观整个初中阶段的数学教学，数学思想方总是隐含其中、是在逐步渗透着的，进入中考复习第二轮时必须进行系统的介绍、运用，结合九年级学生的知识和技能的掌握情况及其心理

特征，本节课拟采用引导发现探索法，教师适当引导，学生自主探索、合作交流。 教具：利用多媒体辅助教学，使学生更容易从直观上理解“数”和“形”之间的关系。 五、教学过程

（一）创设情景，以旧引新

问题1：如图是一个边长为1、经五次对开的正方形，你想到了一个怎样的求值式（或等式）？

学生回答后教师指出：这就是以数解形。.学会形中觅数，善于观察图形，找出图形中蕴含的代数关系。如果在一个几何问题中，条件和结论都容易用代数中的式子表示出来，那么，我们就可以把解决这个问题的过程转化为代数中的演算来完成。数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表，探索由图形到数量的联系与规律，把图形信息转化为代数信息，使要解决的几何问题化为数量关系来实现数形转化。 问题2：由代数式 a 2 ? 4 你想到了一个怎样的几何图形?

学生回答后教师指出：这就是以形助数。善于以数思形，正确构造图形，通过几何模型反映相应代数信息，一般来说，代数问题不依赖于几何都是可以解决的，然而由于代数关系比较抽象， 因此， 若能结合问题中代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径。

问题3：在我们所学的数学知识中，还有哪些可以以数思形、以形思数、数形结合的例子？ 学生回答后教师指出：这就是数形结合的例子。在初中教材中，数的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而形的常见表现形式为: 直线、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等。在直角坐标系下，一次函数对应一条直线，二次函数对应一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容。比如二次函数

y1?ax2?bx?c(a?0) 所对应的

图像的开口、顶点、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分。

掌握数与形的对应关系，以数思形、以形思数。数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。将抽象的数与直观的形双向联系与沟通，可使抽象思维与形象思维有机地结合起来，化抽象为形象，从而达到化难为易的目的。 给出课题《数形结合思想的应用》 设计意图：精心设计问题串引入新课，能够集中学生注意力、引发学生思考、激发学生兴趣、产生学习动机、建立知识联系、明确教学目标，使学生的求知欲由潜伏状态进入活跃状态，为学习新知识、新概念、新技能作铺垫，收到事半功倍的效果。同时在问题后给出课题更显得贴切、自然。

（二）以形助数：建立几何模型(或函数图象)解决代数的问题

做一做：已知直线y1=2x－1和y2=－x－1的图象如图1所示，根据图象填

空．

⑴ 当x______时，y1＞y2；当x______时，y1=y2；当x______时，y1＜y2.

?y?2x?1?y??x?1⑵ 方程组?的解是_____________。

设计意图：1、让学生体会到任何一个二元一次方程都可以化成一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k不为0), 在直角坐标系下，二元一次方程组的解、一元一次不等式的解就显得直接、明了，达到了抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。

2、以学生的原有认知作为新知的生长点，让学生体会到以形助数就在自己平时的数学学习中，这样既符合学生的认知心理，让学生有一种亲切感，也为例1的引出作好了准备。

1??x2?2x?1 例1、试判断方程 x的解的个数。

学生思考后，教师给予适当引导： 通过解方程你会求得解的个数吗？ 如果行不通，你会想到以形助数吗？ 想到了哪些函数及其图像？会解决了吗？

设计意图：相比做一做，例1是一个飞跃，需要学生亲身以数思形，通过几何模型反映相应代数信息。结合问题中代数关系赋予的几何意义，借助直观形象对问题做出透彻分析，从而探求出解决问题的途径。

（三）以数解形：建立适当的代数模型解决有关几何的问题型

Pm?APi?BPi?CPi例2、在⊿ABC中，AB=AC=2，BC边上有100个不同的点i，记im?m2???m100? .

（i?1,2.?,100），则1例3、如图，已知⊿ABC的面积S，作一条直线l//BC，且与AB、AC分别相交于点D、E，

21k?S4． 记⊿BED的面积为k，证明：

AADAD ElEF 23

1 BBCCEBDC

设计意图：一个似乎是纯几何的问题，在“数”的引导下获得了最好的解决方式，这种由表及里，形中有数的思想方法，正是数学中“数形结合”的思想方法在解决问题中的具体体现。

（四）数形结合：与函数有关的代数、几何综合性问题

例4、ABCD是四边形，动点P沿折线BCDA由B点向A点运动．P点移动 的路程为x，ΔABP的面积为S， 函数S=f(x)的图像如图所示．

S 给出以下四个结论： ABCD是等腰梯形； 20 ABCD是平行四边形； 若Q是AD 的中点，

O 5 9 14 x 那么ΔABQ的面积为10；

当9

设计意图：将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。通过对图形的认识、数形转化，以提高思维的灵活性、形象性、直观性使问题化难为易，化抽象为具体。

（五）拓展提高

例5、 若x、y为正实数，且

x?y?4,x2?1?y2?4的最小值是多少?

学生思考后，教师给予适当引导：

2y2?4x?1从、你想到了什么？

（2）上述问题就变成了求什么的最值问题。 （3）根据以上分析你会想象出怎样的图形？ 设计意图：

a2?b2表示以正数a，b为直角边的直角三角形的斜边，看到这个式子应立

刻在头脑中产生这个直角三角形，这当然需要经验的积累。有了这个直角三角形，解决问题便有了思路。由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通中知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都有很大帮助 （六）小结归纳

（1）本节课强化了哪一种数学思想？它包含几个方面？ （2）数形结合思想具有怎样的优越性？ （3）在以后的学习中你应该注意哪些方面？

设计意图：一节课的结束，并不意味着教学内容和学生思维的终结。“学贵有疑”，有疑就对知识有“学而不厌”的追求。在课堂结束时，充分利用课堂的核心内容设计总结问题串，可培养学生独立探究新知识、自我归纳和反馈的能力。 （七）布置作业

21、实数a、b上在数轴上对应位置如图3－3－6所示，则|a?b|?b等于（ ）

A．a B．a－2b C．－a D．b－a

1?2、求和：

1111?????n2482＝ ．

22y?x?9?x?2x?2的最小值． 3、求

六、教学反思