2018-2019学年广东省华南师范大学附属中学上学期高二年级期末数学试题（有答案解析）

周长为82.

（1）求椭圆M的方程；

（2）已知直线l1，l2互相垂直，直线l1过F1且与椭圆M交于点A，B两点，直线l2过

F2且与椭圆M交于C，D两点.求

11?的值. ABCD1132x2y2??2 【答案】（1）（）??1ABCD8842b2【解析】分析：（1）根据周长确定a?22，由通径确定?22，求得b2?4，

a因而确定椭圆的方程．

（2）分析得直线AB、直线CD的斜率存在时，根据过焦点可设出AB直线方程为

y?k?x?2?，因而直线CD的方程为y??1?x?2?.联立椭圆方程消去y，得到关于kx的一元二次方程2k?1x?8kx?8k?8?0.由韦达定理求得

?2?222AB?42k2?12k2?1??和CD?42?k2?1k2?2?，进而

1132??. ABCD81132?? ．ABCD8 当AB斜率不存在时，求得AB?22，CD?42，所以

当直线AB的斜率为0时，求得AB?42，CD?22，所以

1132??． ABCD8即可判断

1132??． ABCD82222xyb2b详解：（1）将x?c代入2?2?1，得y?，所以?22. abaa因为?GHF2的周长为82，所以4a?82，a?22，

2b2将a?22代入?22，可得b2?4，

ax2y2所以椭圆M的方程为??1.

84（2）（i）当直线AB、直线CD的斜率存在且不为0时，

设直线AB的方程为y?k?x?2?，则直线CD的方程为y??1?x?2?. k?y?k?x?2??2222由?x2y2消去y得?2k?1?x?8kx?8k?8?0.

??1?4?8?8k28k2?8由韦达定理得x1?x2?，x1x2?，

2k2?12k2?1所以，AB?1?k2??x1?x2?2?4x1x2 ?42k2?12k2?1??.

同理可得CD?42k2?1k2?2??.

112k2?1k2?232???? . ABCD42k2?1842k2?1????（ii）当直线AB的斜率不存在时，AB?22，CD?42，

1132??. ABCD8（iii）当直线AB的斜率为0时，AB?42，CD?22，

1132??. ABCD8综上，

1132??. ABCD8点睛：本题综合考查了圆锥曲线的定义、应用，对直线和圆锥曲线的位置问题，常见方法是设出直线方程，联立曲线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理解决相关问题，思路较为清晰，关键是注意计算，综合性强，属于难题． 22．已知函数f?x??x?1?lnx. x（1）判断函数f?x?的单调性；

（2）若f?x?满足f??x1??f??x2??x1?x2?，证明：f?x1??f?x2??3?2ln2. 【答案】（1）在?0,???上是单调递增函数；（2）见解析

【解析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导，最后判断函数的单调性； （2）根据一元二次方程根与系数的关系、基本不等式，构造新函数，利用导数进行证明即可. 【详解】

（1）函数f?x??x?1?lnx的定义域是?0,???. x13(x?)2?11x?x?1因为24?0恒成立， f??x??1?2???xxx2x21所以函数f?x??x??lnx在定义域?0,???上是单调递增函数.

x2?11?x2?x?1?m?011?11 （2）由（1）知f??x??1?2?.令f??x1??f??x2??m，得?，

11xx???1?m?02??x2x2由一元二次方程根与系数关系得得x1?x2?4，

∴f?x1??f?x2???x1?x2???11??1，即x1?x2?x1?x2?2x1x2， x1x2?11?????lnx1?lnx2??x1x2?ln?x1x2??1 ?x1x2?令t?x1?x2?4，则x1x2?ln?x1x2??1?t?lnt?1，令g?t??t?lnt?1?t?4?， 则g??t??1??0?t?4?，得g?t??g?4??3?2ln2. 【点睛】

本题考查了利用导数判断函数的单调性，考查了数学运算能力.

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