2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量初步 6.1.1 向量的概念学案 新人教B版必修第二册

6．1.1 向量的概念

考点 向量的概念 共线向量、相等向量 向量与几何的关系 学习目标 理解向量的有关概念及向量的几何表示 理解共线向量、相等向量的概念 正确区分向量平行与直线平行 核心素养 数学抽象 数学抽象 直观想象

问题导学

预习教材P133－P136的内容，思考以下问题： 1．向量是如何定义的？怎样表示向量？ 2．向量的相关概念有哪些？ 3．两个向量能比较大小吗？

1．位移与向量 (1)向量的概念

一般地，像位移这样既有大小又有 方向的量称为向量(也称为矢量)．

向量的大小也称为向量的模(或长度)；只有大小的量称为标量，长度、面积等都是标量． (2)向量的表示方法

→→

①始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为AB，此时向量AB的模用→

|AB|表示．除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外，还可用一个小写字母来表示向量：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头→→→

的小写字母如a，b，c等来表示向量．

②始点和终点相同的向量称为零向量．零向量的模为0．零向量的方向是不确定．模不为0的向量通常称为非零向量．模等于1的向量称为单位向量．e是单位向量的充要条件是|e|＝1．

■名师点拨

向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．

2．向量的相等与平行

一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量．

如果两个非零向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行．因为零向量的方向不确定，

因此通常规定零向量与任意向量平行．两个向量a和b平行，记作 a∥b．两个向量平行也称为两个向量共线．

■名师点拨

共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量没有方向．( )

→→

(2)向量AB的长度和向量BA的模相等．( ) (3)单位向量都平行．( ) (4)零向量与任意向量都平行．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√

在下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有( )

A．1个 C．3个

B．2个 D．4个

解析：选B.①②③不可以看成向量，④⑤可以看成向量． 关于零向量，下列说法中错误的是( ) A．零向量是没有方向的 B．零向量的长度为0 C．零向量只与零向量相等 D．零向量的方向是任意的 答案：A

如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是

________(填序号)．

→→→→①AD与BC；②OB与OD； →→→→③AC与BD；④AO与OC. 答案：①④

向量的有关概念

判断下列命题是否正确，请说明理由： (1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；

(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； (3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b； (4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．

【解】 (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．

(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量的长度相等，不能确定它们的方向关系． (3)正确．因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b. (4)不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．

(1)理解零向量和单位向量应注意的问题

①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． ②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． (2)共线向量与平行向量

①平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别． ②共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同． ③平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

给出下列命题：

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若单位向量的起点相同，则终点相同；

③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； →→

④向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上． 其中正确命题的序号是________． 解析：①错误．若b＝0，则①不成立． ②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同．

③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的．

→→

④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两个向量AB，CD必须在同一直线上．

答案：③

向量的表示及应用

(1)如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出

________个向量．

(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

→→

①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°处； →→

②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东处； →→

③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°处．

→→→→→→→→→→

【解】 (1)可以写出12个向量，分别是：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，→→

DB，DC，故填12.

(2)①由于点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向→

小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方→

格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量OA如图所示．

→

②由于点B在点A正东处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，→

纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量AB如图所示．

→

③由于点C在点B北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点

B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量BC如

图所示．

(1)向量的两种表示方法

①几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．

②字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平面几何中的图形性质，

→