[步步高]2015年高考数学（苏教版，理）一轮题库：第2章 第9讲 函数模型及其应用

则y＝tn×110×2＝2(－220n2＋2 640n)．

2 640

当n＝440＝6时，总人数最多为15 840人．故每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多为15 840人．

12．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.

x

(1)请分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；

150(2)若该公司采用函数模型y＝整数a的值．

x

解：(1)对于函数模型y＝f(x)＝150＋2， 当x∈[10,1 000]时，f(x)为增函数， 1 00020

f(x)max＝f(1 000)＝150＋2＝3＋2<9， 所以f(x)≤9恒成立，

110x

但当x＝10时，f(10)＝15＋2>5，即f(x)≤5不恒成立， x

故函数模型y＝150＋2不符合公司要求． (2)对于函数模型y＝g(x)＝即g(x)＝10－

3a＋20

， x＋2

10x－3a

， x＋2

10x－3a

作为奖励函数模型，试确定最小的正x＋2

20

当3a＋20>0，即a>－3时递增， 为使g(x)≤9对于x∈[10,1 000]恒成立， 即要g(1 000)≤9,3a＋18≥1 000， 982

即a≥3，[来源:学科网ZXXK] x

为使g(x)≤5对于x∈[10,1 000]恒成立，

即要

10x－3a

≤5，即x2－48x＋15a≥0恒成立， x＋2

即(x－24)2＋15a－576≥0(x∈[10,1 000])恒成立，又24∈[10,1 000]， 故只需15a－576≥0即可， 192

所以a≥5. 192

综上，a≥5，故最小的正整数a的值为39.

13．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节

约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费，且有如下三条规定：

①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；

②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；

③每户每月的定额损耗费a不超过5元．

(1)求每户每月水费y(元)与月用水量x(立方米)的函数关系式； (2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：

月份 一 二 三 用水量(立方米) 4 5 2.5 水费(元) 17 23 11 试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值． 解：(1)依题意，得

?9＋a，0m，?**?其中0

(2)∵0

由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．

?x＝4，?x＝5，?将和?分别代入(**) ?y＝17?y＝23?17＝9＋n?4－m?＋a，得? 23＝9＋n?5－m?＋a.?两式相减，得n＝6.

代入17＝9＋n(4－m)＋a得a＝6m－16. 又三月份用水量为2.5立方米， 若m<2.5，

?x＝2.5，将?代入(**)， ?y＝11

得a＝6m－13，这与a＝6m－16矛盾．

∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量，将?x＝2.5，?代入(*)得11＝9＋a. ?y＝11

?a＝6m－16，?a＝2，由?解得?

11＝9＋am＝3.??

所以，该家庭今年一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，m＝3，n＝6，a＝2.

14．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单k位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费

3x＋5用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解 (1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝而建造费用为C1(x)＝6x.

k，3x＋5

40

. 3x＋5

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝4080020×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．

3x＋53x＋5

400?400?

(2)f(x)＝2?3x＋5＋?3x＋5??－10≥2×2400－10＝70(当且仅当＝3x＋

3x＋5??5，即x＝5时，“＝”成立)，所以当x＝5时，f(x)min＝f(5)＝70.故隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.