2012年中考三角形、四边形压轴题精选(四)及解析

（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角平分线，请问

ACAB?CDDB一定成立吗？并证明你的判断.

C

0（3）如图（11）所示Rt△ABC中，?ACB?90，

AC?8,AB?403D

,E为AB上一点且AE?5，

DFFAF A

E

图（11）

B

CE交其内角角平分线AD与F.试求的值.

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；

角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理．

【专题】探究型．

【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，

则DB=CD，易得

ACAB?CDDB；由于∠C1AB1=60°，得∠B1=30°，则AB1=2AC1，

AC1AB1C1DDB1同理可得到DB1=2DC1，易得

?；

（2）过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，根据平行线的性质和角平分线

的定义得到∠E=∠CAD=∠BAD，则BE=AB，并且根据相似三角形的判定得

△EBD∽△ACD，得到AC/BE=CD/DB，而BE=AB，于是有AC/AB=CD/DB，这实际是三角形的角平分线定理；

（3）AD为△ABC的内角角平分线，由（2）的结论得到

CDDB?ACAB?8403?35，又

AEEB?5403?5?35，则有

CDDB?AEEB，得到

DE∥AC，根据相似三角形的判定得△DEF∽△ACF，即有

DFFA?EFFC?AEAC?58

CDDB【解答】解：（1）易验证

ACAB?1?,

AC1AB1?12?C1DDB1

这两个等式都成立； ………………………………………………………2分

(2)可以判断结论仍然成立，证明如下： ………………………………1分

如右图所示ΔABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交 AD的延长线于E点

∵∠E=∠CAD=∠BAD ∴BE=AB 又∵ΔEBD∽ΔACD ……………………………1分 ∴∴

ACBEACAB??CDDBCDDB,又∵BE=AB

CDEAB即对任意三角形结论仍然成立. …………………………1分

﹙3﹚如图（11）所示，连结ED

∵AD为ΔABC的内角角平分线 ∴CDDB?ACAB?8403FC?35 ………………１分

D而

AEEB?5403?5?35……………………１分

AE图（11）B∴

CDDBDFFA?AEEBEFFC , ∴DE∥AC

∴ΔDEF∽ΔACF ……………………………１分 ∴

??AEAC?58 …………………………１分

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所

截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、含30°的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质．

【40.2012广安】

24．现有一块等腰三角形板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm，若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和．

考点： 图形的剪拼。

分析： 根据题意画出所有的四边形，再根据勾股定理、平行四边形的性质分别进行计算即可求出各个四边形的两条对角线长的和．

解答： 解：如图：

∵等腰三角形的周长为32cm，底比一腰多2cm， ∴AB=AC=10， BD=CD=6， AD=8，

拼成的各种四边形如下：①

∵BD=10，

∴四边形的两条对角线长的和是10×2=20；

②∵AC=

=

=4

，

+8；

∴四边形的两条对角线长的和是AC+BD=4

③∵BD=

=

=2

；

∴四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=6+2；

④ ∵BD=2BO=2×4.8=9.6，

∴四边形的两条对角线长的和是：AC+BD=9.6+10=19.6．

点评： 此题考查了图形的剪拼，解题的关键是根据题意画出所有的图形，用到的知识点是勾股定理、平行四边形的性质等．