2012年中考三角形、四边形压轴题精选(四)及解析

2012年各地中考数学汇编三角形四边形精选(31～40)

【31. 2012南通】 26．（本小题满分10分）

如图，菱形ABCD中，∠B＝60o，

点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60o，求证：BE＝DF； (2)如图2，若∠EAF＝60o， 求证：△AEF是等边三角形．

【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．

【专题】证明题． 【分析】（1）首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等

边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，

继而证得BE=DF；

（2）首先连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形．

【解答】证明：（1）连接AC， ∵菱形ABCD中，∠B=60°，

∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°， ∴△ABC是等边三角形， ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC， ∵∠AEF=60°， ∴∠FEC=90°-∠AEF=30°， ∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C =180°-30°-120°=30°， ∴∠FEC=∠CFE， ∴EC=CF， ∴BE=DF；

（2）连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60° ∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ACB=60°， ∴∠B=∠ACF=60°， ∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD， ∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD， ∴∠AEB=∠AFC， 在△ABE和△AFC中， ∠B=∠ACF ∠AEB=∠AFC AB=AC

A F

D A D F

B E C 图1

B E 图2

C

∴△ABE≌△ACF（AAS），

∴AE=AF， ∵∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形．

【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及

等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．

【32. 2012南通】 27．（本小题满分12分）

如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点D是BC边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以1cm/s的速度从点D

出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．

(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；

(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．

5

①若a＝，求PQ的长；

2

②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质． 【专题】几何综合题．

【分析】（1）由△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，根据等腰三角

形三线合一的性质，即可求得BD与CD的长，又由a=2，△BPQ∽△BDA，利用相

似三角形的对应边成比例，即可求得t的值； （2）①首先过点P作PE⊥BC于E，由四边形PQCM为平行四边形，易证得PB=PQ，又由平行线分线段成比例定理，即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ，解此方程即可求得答案； ②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在．

【解答】解：（1）△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，D是BC的中点，

∴BD=CD=1 2 BC=6cm，

∵a=2，

∴BP=2tcm，DQ=tcm， ∴BQ=BD-QD=6-t（cm）， ∵△BPQ∽△BDA， ∴BP BD =BQ AB ，

即2t 6 =6-t 10 ， 解得：t=18 13 ； （2）①过点P作PE⊥BC于E，

∵四边形PQCM为平行四边形， ∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM， ∴PB：AB=CM：AC， ∵AB=AC， ∴PB=CM，

∴PB=PQ， ∴BE=1 2 BQ=1 2 （6-t）cm， ∵a=5 2 ， ∴PB=5 2 tcm， ∵AD⊥BC， ∴PE∥AD，

∴PB：AB=BE：BD， 即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ， 解得：t=3 2 ，

∴PQ=PB=5 2 t=15 4 （cm）； ②不存在．理由如下：

∵四边形PQCM为平行四边形， ∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM， ∴PB：AB=CM：AC，

∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ． 若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM， ∵PM∥CQ， ∴∠PCQ=∠CPM， ∴∠CPM=∠PCM， ∴PM=CM，

∴四边形PQCM是菱形， ∴PQ=CQ，

∴PB=CQ， ∵PB=atcm，CQ=BD+QD=6+t（cm）， ∴PM=CQ=6+t（cm），AP=AB-PB=10-at（cm）， 即at=6+t①， ∵PM∥CQ， ∴PM：BC=AP：AB， ∴6+t 12 =10-at 10 ， 化简得：6at+5t=30②， 把①代入②得，t=-6 11 ，

∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上．

【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．

【33. 2012常德】

25.已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线 BC运到，连结DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连结OP，ON。（当P在线段BC上时，如图9：当P在BC的延长线上时，如图10）

（1）请从图9，图10中任选一图证明下面结论： ①BN=CP： ②OP=ON，且OP⊥ON

(2) 设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系。

知识点考察：①正方形的性质，②三角形外角和定理，③全等三角形的判定， ④两线垂直的判定，⑤多边形的面积的分解，⑥函数解析式的确定， ⑦分段函数，⑧点到直线的距离。 能力考察：①观察能力，②逻辑思维与推理能力，③书写表达能力，④综合运用知识的能 力，⑤分类讨论的能力。

分析：对于图9，证明线段相等，一般情况下找全等。根据BN，CP的分布情况， 可以观察△CNB和△DPC，然后证明两三角形全等。也可以观察△CAN

和△DBP，证明AN=BP，从而有BN=CP。至于以O、P、B、N为顶点的四边 形的面积，则要把四边形分解为两个三角形去解决问题。 对于图10来说图型要稍微复杂一点，先证△PDB≌△NCA，得DP=CN 再证△PDO≌△NCO，则有OP=ON， 证明：对于图9，（1）①∵ABCD为正方形， ∴∠DCP=90o，△DCP为Rt△， 同理：△CBN为Rt△， 而CM⊥DP ∴∠PCM=∠CDP 在Rt△DCP与Rt△CBN中： ∠DCP=∠CBN=90o ∠CDP=∠PCN CD=BC ∴Rt△DCP≌Rt△CBN ∴CP=BN ②而∠OCP=∠OBN=45o

OC=OB ∴△COP≌△BON ∴ON=OP ∠COP=∠BON 又∵OC⊥OB