2017年北京市丰台区高三第一学期期末数学（理）试题及答案

丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习

高三数学（理科）2017.01 第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A?{x?Z(x?2)(x?1)?0}，B?{?2,?1}，那么AUB等于

?1，0} （C）{?2，?1} （D）{?1} ?1，，01} （B）{?2，（A）{?2，2．已知a?b?0，则下列不等式一定成立的是 （A）a?b （B）

1111? （C）()a?()b （D）lna?lnb

22ab0)，b?(1，1)，那么下列结论中正确的是 3．如果平面向量a?(2，（A）a?b （B）a?b?22 （C）(a?b)?b （D）a//b

4．已知直线m，n和平面?，如果n??，那么“m?n”是“m??”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

5．在等比数列{an}中，a1?3，a1+a2?a3=9，则a4+a5?a6等于（A）9 （B）72 （C）9或72 （D） 9或?72 6． 如果函数f(x)?sin?x?3cos?x的两个相邻零点间的距离为2，那么f(1)?f(2)?f(3)?L?f(9)的值为 （A）1 （B）?1 （C）3 （D）?3 7. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 （A）72.4寸 （B）81.4寸 （C）82.0寸 （D）91.6寸

节气 晷影长 （寸） 冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 惊蛰 (寒露) 春分 (秋分) 清明 (白露) 谷雨 (处暑) 立夏 (立秋) 小满 (大暑) 芒种 (小暑) 夏至 46464475.5 3232521516.0 66.5 55.6 45.7 35.8 25.9 125. 115.1 105.2 95.3 85.4 66666666668. 对于任何集合S，用|S|表示集合S中的元素个数，用n(S)表示集合S的子集个数. 若集合A，B满足条件：|A|?2017，135 且n(A)?n(B)?n(AUB)，则|AIB|等于 （A）2017 （B）2016 （C）2015 （D）2014

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i是虚数单位，复数

yP(B)B12i= ． 1?iAx2y210. 设椭圆C：2+?1(a?0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在

a16椭圆C上，如果|PF1|+|PF2|?10，那么椭圆C的离心率为 ．

OCA1C1x12611．在(?x)的展开式中，常数项是 （用数字作答）．

x?x+y?2?0，? 则z=2x?y的最大值为 ． 12．若x，y满足?2x?y?2?0，?y?0，?ABDC13．如图，边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中，AC在x轴上，顶点B与y轴上的定点P重合．将正三角形ABC沿x轴正方向滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为旋转中心顺

uuuruuur时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△A1B1C1时，顶点B运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB?OP的最大值为 ．

14．已知f(x)为偶函数，且x?0时，f(x)?x?[x]（[x]表示不超过x的最大整P数）．设g(x)?f(x)?kx?k(k?R)，若k?1，则函数g(x)有____个零点；若函数g(x)三个不同的零点，则k的取值范围是____．

Q三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

AC?3，CD?2，D是BC上的点，15.（本小题共13分）如图，在△ABC中，AD?7，G7.（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求边AB的长. 716.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD是边长为2的正方形，平面PDCQ⊥平面ABCD，PD^DC，E，F，G分别为棱BC，AD，PA的中点. sinB?FADEBC6，求四棱锥P-ABCD的体积． 617.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该

区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如右表所示。为了解参赛学中学 甲 乙 丙 丁 生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加人数 30 40 20 10 问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．

（Ⅰ）求证：EG‖平面PDCQ；（Ⅱ）已知二面角P-BF-C的余弦值为120)处有相同的切线.（Ⅰ）求a的值；x?ax的图象在点(0，（Ⅱ）

2，2]上的最小值. 设h(x)?f(x)?bg(x)(b?R)，求函数h(x)在[118.（本小题共13分）已知函数f(x)?xex与函数g(x)?，2)，过点F的直线与抛物线C交于P，19.（本小题共13分）已知抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点为F，且经过点A(1uuruuurpQ两点.（Ⅰ）求抛物线C的方程；OQOOPSx??（Ⅱ）为坐标原点，直线，与直线分别交于，T两点，试判断FS?FT2是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

20.（本小题共13分）已知无穷数列{cn}满足cn?1?1?1?2cn.（Ⅰ）若c1?1，写出数列{cn}的前4项；（Ⅱ）对于任意70?c1?1，是否存在实数M，使数列{cn}中的所有项均不大于M ？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）当c1为有理数，且c1?0时，若数列{cn}自某项后是周期数列，写出c1的最大值.（直接写出结果，无需证明）

丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考

2017．01

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 B D C B D A C B 答案 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 38??11??11?9．?1?i 10． 11． 15 12．4 13．；23 14．2；??,??U?,?

53?34??32?三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）

AC2?CD2?AD232?22?71……….2分 ?解：（Ⅰ）在△ADC中，由余弦定理，得cosC??………….4分

2AC?CD2?3?22因为0?C??，所以C?（Ⅱ）因为C?即AB??. ……………….6分 3ACAB?3?.…………….8分 在△ABC中，由正弦定理，得 ，所以sinC?，…….10分 sinBsinC32321321. ……………….13分 ，所以边AB的长为

2216.（本小题共14分）

证明：（Ⅰ）取PD中点H，连接GH，HC，因为ABCD是正方形，所以AD‖BC，AD=BC.因为G,H分别是PA,PD11中点，所以GH‖AD,GH=AD.又因为EC‖AD且EC=AD，所以GH‖EC，GH=EC，所以四边形GHCE是平

22行四边形,…….3分 所以EG‖HC. 又因为EG?平面PDCQ，HCì平面PDCQ所以EG‖平面PDCQ．……….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ⊥平面ABCD，平面PDCQI平面ABCD=CD，PD^DC，PDì平面PDCQ，所以PD^平面ABCD．…….6分 如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD=a，

P(0,0,a)，F(1,0,0)，B(2,2,0)．…7分 因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为m?(0,0,1).….8分 则 uuuruurPF=(1,0,-a) FB=(1,2,0), 设平面PFB的一个法向量为n?(x,y,z)， yuuurP??x?az?0?PF?n?0,1111 即?则?uur令x=1，得z?,y??，所以n?(1,?,)．….10分

x+2y=0a22a???FB?n=0.由已知，二面角P-BF-C的余弦值为m?n?所以得 cos?|m||n|1a6， 6AzHGQ6?，………….11分 651?4a2FDEBCx18解得a =2,所以PD=2．….13分 因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以其体积为VP?ABCD??2?4?．…….14分

3317．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为

303?， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分 10010（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A，从30名学生中随机抽取两名学生

22222的取法共有C30?435种，????5分 来自同一所中学的取法共有C9?C12?C6?C3?120．??????7分

12088?． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为．????8分 4352929（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得X的可能取值为0,1,2，??9分

112C6C9C618C921210 1 2 X P(X?0)?2? ，P(X?1)?2? ，P(X?2)?2?．

C1535C1535C15711812 P ……12分 所以X的分布列为：…….14分 7353518．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为f?(x)?ex?xex，所以f?(0)?1.……….2分

因为g?(x)?x?a，所以g?(0)?a.…….4分 因为f(x)与g(x)的图象在（0,0）处有相同的切线，所以f?(0)?g?(0)，

所以P(A)?所以a?1. …….5分

121x?x,令h(x)?f(x)?bg(x)?xex?bx2?bx，x?[1,2]， 22则h?(x)?ex?xex?b(x?1)?(x?1)(ex?b)． ……………….6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知, g(x)?(1)当b?0时，?x?[1,2]，h?(x)?0，所以h(x)在[1,2]上是增函数，故h(x)的最小值为h(1)=e?(2)当b?0时，由h?(x)=0得，x?lnb，…………….8分

3①若lnb?1即0?b?e，则?x?[1,2],h?(x)?0，所以h(x)在[1,2]上是增函数，故h(x)的最小值为h(1)=e?b.….9分

22)，h?(x)?0，所以h(x)在(1,lnb)上是减函②若1?lnb?2，即e?b?e2，则?x?(1,lnb)，h?(x)?0，?x?(lnb，3b；…….7分 21bln2b；……………….11分 2③若lnb?2即b?e2，则?x?[1,2],h?(x)?0，所以h(x)在[1,2]上是减函数，故h的最小值为h(2)=2e2?4b.….12分

132综上所述，当b?e时，h(x)的最小值为h(1)=e?b，当e?b?e2时，h(x)的最小值为?blnb，当b?e2时，h(x)22的最小值为2e2?4b. ……………….13分 19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点A(1,2)代入抛物线C的方程y2?2px，得4?2p，解得p?2，所以抛物线C的方

2)上是增函数，故h(x)的最小值为h(lnb)=?数，在(lnb，程为y2?4x.……………….4分

py12（Ⅱ）因为p?2，所以直线x??为x??1，焦点F的坐标为(1,0)设直线PQ的方程为x?ty?1，P(,y1)，

244?2y?x,444?y2y?xy?xS(?1,?)，同yOQ,直线.………….5分 由?的方程为得Q(,y2)，则直线OP的方程为1y1y2y14?x??1,?uuruuuruuruuur44416理得T(?1,?)．……….7分 所以FS?(?2,?)，FT?(?2,?)，则FS?FT?4?．………….9分

y2y1y2y1y2uuruuur?x?ty?1,162FS?FT?4?yy??4?4?4?0． 由?2得y?4ty?4?0，所以12，………….11分 则

(?4)y?4x,?uuruuur所以FS?FT的值是定值，且定值为0.………….13分

1246220．（本小题共13分）解：（Ⅰ）,,,, ……………….4分

77777（Ⅱ）存在满足题意的实数M, 且M的最小值为1.

解法一：猜想0?cn?1，下面用数学归纳法进行证明.（1）当n?1时,0?c1?1，结论成立.（2）假设当n?k(k?N*)时

结论成立，即0?ck?1，当n?k?1时,0?2ck?2 ,所以?1?1?2ck?1,即0?1?2ck?1,所以0?1?1?2ck?1,故

0?1?1?2ck?1.又因为ck+1=1?1?2ck,所以0?ck+1?1,所以n?k?1时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,0?cn?11时,可得当n?2时, cn?1,此时, M的最小值为1。故M的最小值为1. 211解法二：当n?2时，若存在k?2,3,4...,满足ck?1?1,且ck?1.显然ck?1?0,,1，则?ck?1?1时，ck?2?2ck?1?1与

2211ck?1矛盾；0?ck?1?时，ck?2ck?1?1与ck?1矛盾；所以0?cn?1(n?2)，所以M?1,当c1?时,可得当n?2时,

22cn?1,此时, M的最小值为1 故M的最小值为1. ???????10分 （Ⅲ）2 ?????13分

成立，所以M?1,当c1?

（若用其他方法解题，请酌情给分）