2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第3讲二项式定理理解析版

?1?62

1．(2017·全国卷Ⅰ)?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数为( )

?x?

A．15 B．20 C．30 D．35 答案 C

?1?6rr6222

解析 因为(1＋x)的通项为C6x，所以?1＋2?(1＋x)展开式中含x的项为1·C6x和

?x?

1442·C6x. x

6×5?1?24262

因为C6＋C6＝2C6＝2×＝30，所以?1＋2?(1＋x)展开式中x的系数为30.故选C. 2×1?x?2．若(1＋ax)(a≠0)的展开式中x与x的系数相等，则a＝________. 答案 3

解析 展开式的通项为Tr＋1＝C7(ax)，

因为x与x系数相等，所以C7a＝C7a，解得a＝3.

3．(2018·河南鹤壁月考)(x－y)(x＋2y＋z)的展开式中，xyz的系数为( ) A．－30 B．120 C．240 D．420 答案 B

解析 [(x＋2y)＋z]的展开式中含z的项为C6(x＋2y)z，(x＋2y)的展开式中xy项的系数为C4×2，xy项的系数为C4×2，∴(x－y)(x＋2y＋z)的展开式中xyz的系数为

33222

C26C4×2－C6C4×2＝480－360＝120.故选B.

3

3

22

2

2

6

232

6

2

2

42

4

3

6

232

5

6

55

66

r

r

7

5

6

题型 二 二项式系数的性质或各项系数的和

52345

1．(1－3x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________. 答案 －33

解析 令x＝1得(－2)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－32. 令x＝0得，1＝a0；

所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－33.

5

5

?x＋1?

?n的展开式中，前三项的系数成等差数列． 2．(2018·九江模拟)已知?4??2x??

(1)求n；

(2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项．

11120

解 (1)由二项展开式知，前三项的系数分别为Cn，Cn，Cn，

2411012

由已知得2×Cn＝Cn＋Cn，解得n＝8(n＝1舍去)．

24

?

(2)???

8)，

3r4－1?1??4x＋8－r?8的展开式的通项Tr＋1＝Cr??r＝2－rCr

· (r＝0,1，…，8(x)8x4?4??2x??2x?

3r354

要求有理项，则4－必为整数，即r＝0,4,8，共3项，这3项分别是T1＝x，T5＝x，

481

T9＝2.

256x

(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2C8， ar＋12C89－r则＝－r－1r－1＝≥1， ar2C82rar＋12C82r＋1＝－r＋1r＋1＝≥1， ar＋22C88－r解得2≤r≤3.

当r＝2时，a3＝2C8＝7，当r＝3时，a4＝2C8＝7， 因此，第3项和第4项的系数最大， 故系数最大的项为

－22

－33

－rr

－rr

－rr

结论探究1 举例说明1条件不变，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝________. 答案 1024

解析 (1＋3x)各项系数之和为|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|. 令x＝1得|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝4＝1024. 结论探究2 举例说明1条件不变，求a0＋a2＋a4. 解 令x＝1得(－2)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5， 令x＝－1得4＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5， 两式相加得－32＋1024＝2(a0＋a2＋a4)， 所以a0＋a2＋a4＝496.

5

5

5

5

6

1．赋值法的应用

二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值．如：

(1)形如(ax＋b)，(ax＋bx＋c)(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可．

(2)形如(ax＋by)(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 2．二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法

(1)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋anx，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)． (2)奇数项系数之和为

2

n

2

m

nnf1＋f－1a0＋a2＋a4＋…＝.

2

(3)偶数项系数之和为

f1－f－1a1＋a3＋a5＋…＝.

2

3．求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤

第一步，要弄清所求问题是“展开式系数最大”“二项式系数最大”两者中的哪一个． 第二步，若是求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)中n的奇偶及二次项系数的性质求解．若是求展开式系数的最大值，有两个思路，如下：

思路一：由于二项展开式中的系数是关于正整数n的式子，可以看作关于n的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值．见举例说明2.

思路二：由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组?

?ak≥ak－1，???ak≥ak＋1

n

即可求得答案.

29

1．(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)＋…＋a9(x＋1)，且(a0

9

＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)＝3，则实数m的值为________．

答案 －3或1

解析 令x＝0，则(2＋m)＝a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝－2，则m＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 又(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)

＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝3， ∴(2＋m)·m＝3，∴m(2＋m)＝3， ∴m＝－3或m＝1.

7

9

9

9

9

2

2

9

9

229

322nn2．已知(x＋x)的展开式的二项式系数和比(3x－1)的展开式的二项式系数和大1?2n?992，则在?2x－?的展开式中，二项式系数最大的项为________，系数的绝对值最大的项

?x?

为________．

答案 －8064 －15360x

解析 由题意知，2－2＝992，即(2－32)(2＋31)＝0，故2＝32，解得n＝5.由二

2n4

nnnn?2x－1?10的展开式中第6项的二项式系数最大，

项式系数的性质知，故二项式系数最大的项??

?

x?

为

55

T6＝C510(2x)?－?＝－8064.

?x?

?1?

设第k＋1项的系数的绝对值最大，则

10－kkkk10－k10－2kTk＋1＝Ck·?－?＝(－1)C10·2·x， 10·(2x)

?x?

?1?

?≥C10·2，?C10·2?令k10－kk＋110－k－1?C10·2≥C10·2，???C10≥2C10，得?kk＋1

?2C10≥C10，?

kk－1

k10－kk－110－k＋1

??11－k≥2k，

即?

?2k＋1≥10－k，?

811

解得≤k≤.

33∵k∈Z，∴k＝3.

故系数的绝对值最大的项是第4项，

744

T4＝－C310·2·x＝－15360x.

题型 三 二项式定理的应用

1．设复数x＝

2i1223320172017

(i是虚数单位)，则C2017x＋C2017x＋C2017x＋…＋C2017x等于( ) 1－i

A．i B．－i C．－1＋i D．－1－i 答案 C 解析 x＝＋x)

2017

2i2i1＋i1223320172017

＝＝－1＋i，C2017x＋C2017x＋C2017x＋…＋C2017x＝(11－i1－i1＋i－1＝i－1.

1

2

3

27

－1＝i

2017

2．已知n为满足S＝a＋C27＋C27＋C27＋…＋C27(a≥3)能被9整除的正数a的最小值，则

?x－1?n的展开式中，二项式系数最大的项为( )

?x???

A．第6项 C．第11项 答案 B

8

B．第7项 D．第6项和第7项