2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第3讲二项式定理理解析版

第3讲 二项式定理

[考纲解读] 1.会用计数原理证明二项式定理，并会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．(重点) 2.熟练掌握二项式的展开式、展开式的通项及二项式系数的相关性质．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为每年高考的必考点. 预测2020年将会考查：①求二项式的特定项或项的系数；②求二项式系数的最大项或二项式系数的和；③与其他知识进行综合考查. 题型以客观题形式考查，难度不大，属中、低档题型.

1．二项式定理

2．二项式系数的性质

3.常用结论

(1)Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2.

(2)Cn＋Cn＋Cn＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2

0

2

4

1

3

5

0

1

2

nnn－1

.

1

(3)Cn＋2Cn＋3Cn＋…＋nCn＝n2

r0

r－11

0r123nn－1

.

n(4)CmCn＋CmCn＋…＋CmCn＝Cm＋n. (5)(Cn)＋(Cn)＋(Cn)＋…＋(Cn)＝C2n.

1．概念辨析

(1)(a＋b)的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )

(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(a＋b)中系数最大的项是第n项．( )

(3)(a＋b)某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )

(4)若(3x－1)＝a7x＋a6x＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×

2．小题热身

1?8?(1)?x＋?的展开式中常数项为( )

2x??A.C.35 1635 4

B.35 8

7

7

6

2n02

12

22

rn2

nnD．105

答案 B

解析 二项展开式的通项为

?1?k?1?kk4－kTk＋1＝C8(x)·??＝??C8x，

?2x??2?

k8－k?1?4435

令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝??C8＝.

8?2?

(2)(x－y)的二项展开式中，第m项的系数是( ) A．Cn C．Cn 答案 D

解析 (x－y)的二项展开式中第m项的通项公式为

－1m－1n－m＋1m－1m－1

Tm＝Cmx，所以系数为Cn·(－1). n(－y)

nmB．Cn D．(－1)

nm－1m－1

nm＋1

m－1

C

(3)若(x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x，则a0的值为( ) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案 A

解析 令x＝0得，(－1)＝a0，即a0＝－1. (4)若?x＋

5

52345

??

3

1?nx?

?的展开式中所有二项式系数之和为128，则n＝________.

2

答案 7

解析 由题意，可知2＝128，解得n＝7.

n

题型 一 二项展开式

角度1 求二项展开式中的特定项或系数

?22?54

1．(1)(2018·全国卷Ⅲ)?x＋?的展开式中x的系数为( )

?

x?

A．10 B．20 C．40 D．80

1?6?(2)(2019·茂名模拟)已知a＝?2πcosxdx，则?ax＋?展开式中，常数项为________． ax???

0

答案 (1)C (2)20

解析 (1)由题可得Tr＋1＝C5(x)

r22

Cr5·2＝C5×2＝40，故选C.

r

25－r

?2?r＝Cr·2r·x10－3r.令10－3r＝4，则r＝2，所以

?x?5??

?π

(2)因为a＝?2πcosxdx＝sinx?2

??0

?0

1?6?r6－2r

＝1，?ax＋?展开式的通项为Tr＋1＝C6(ax).

ax??

令6－2r＝0，解得r＝3，代入得到常数项为20. 角度2 已知二项展开式某项的系数求参数

2．(1)已知(2＋ax)(1－2x)的展开式中，含x项的系数为70，则实数a的值为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2

1?n?(2)记?2x＋?的展开式中第m项的系数为bm.若b3＝2b4，则n＝________.

x??答案 (1)A (2)5

解析 (1)(1－2x)展开式的通项公式为Tr＋1＝C5·(－2x)，所以(2＋ax)(1－2x)的展开式中，含x项的系数为

2×C5(－2)＋aC5(－2)＝70，解得a＝1. (2)Tr＋1＝Cn(2x)∵b3＝2b4，∴2

2

3

r

n－r

2

2

1

2

5

r

r

5

5

2

?1?r＝2n－rCr·xn－2r.

?x?n??

2

n－3

n－2

·Cn＝2·2·Cn.

3

∴Cn＝Cn，∴n＝5. 角度3 多项展开式

3

3．(1)(2015·全国卷Ⅰ)(x＋x＋y)的展开式中，xy的系数为( ) A．10 B．20 C．30 D．60

2552

?1?52

(2)(2019·陕西黄陵中学模拟)?x＋＋2?展开式中x的系数为( )

?x?

A．120 B．80 C．20 D．45 答案 (1)C (2)A

解析 (1)(x＋x＋y)＝[(x＋x)＋y]的展开式中只有C5(x＋x)y中含xy，易知xy的系数为C5C3＝30，故选C.

1?2?5?1?101?5???x＋x＋(2)?x＋＋2?＝????＝??.

?x???x???x?Tr＋1＝C(x)

r

10

10－r

21

2

5

2

5

2

2

32

52

52

?1?rr5－r??＝C10x. ?x?

令5－r＝2解得r＝3. T4＝C10x＝120x，

3

2

2

?1?52

所以?x＋＋2?展开式中x的系数为120.

?x?

1．求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 (1)利用通项公式将Tk＋1项写出并化简．

(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k.

(3)代回通项得所求．见举例说明1.

2．求解形如(a＋b)(c＋d)的展开式问题的思路

(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)(c＋d)＝(a＋2ab＋b)(c＋d)，然后分别求解．

(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)(1－x)＝[(1＋x)(1－x)](1－x)＝(1－x)(1－x).

(3)分别得到(a＋b)，(c＋d)的通项公式，综合考虑． 3．求形如(a＋b＋c)展开式中特定项的四步骤

nm

n

25

2

5

7

5

2

n

2

n

2

2

m

n

4