高考数学(理)复习检测 第七篇 立体几何与空间向量 第7节 立体几何中的向量方法 第一课时 证明平行和垂直

又AA1⊥平面ABCD,AA1=2. 可得B(1,0,0),D(-1,0,0),

A1(0,-,2),C1(0,,2),D1(-1,0,2). 由E,F分别是线段A1D,BC1的中点, 得E(-,-,1),F(,,1). 由

=

,求得G(1,-2,2).

于是=(-,,-1),=(1,,0), =(0,2,-2).

设平面DEF的一个法向量n=(x,y,z). 由得

令y=-1,得x=,z=-. 所以n=(,-1,-).

所以·n=0×+2×(-1)+(-2)×(-)=0,所以⊥n. 又GB?平面DEF,所以GB∥平面DEF. (2)由(1)得面DEF的法向量n=(,-1,-). 而

=(-2,2,-2),

设直线GD与平面DEF所成的角为θ,则

sin θ=|cos|===.

4. 导学号 18702400如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.

(1)求证:AG∥平面BEF;

(2)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论. (1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,

则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,,1),F(,1,1),G(0,,1), =(-,,0),=(-,0,1), 而=(-1,,1), 所以=+, 故与平面BEF共面, 又因为AG不在平面BEF内,

所以AG∥平面BEF. (2)解:设M(1,1,m),则由

·=0,

·=0,

=(1,1,m),

所以-+m=0?m=,

所以M为棱BB1的中点时,DM⊥平面BEF.