八年级第三章3.4平行四边形（第3课时）（顾厚春）

苏科版教学案 八年级第三章 3.4平行四边形（第3课时） 顾厚春

§3.4平行四边形（第3课时） 参考答案

【要点梳理】

1. 分别平行.

2. 平行四边形的面积，互相平分. 3.（1）平行；（2）相等；（3）平行且相等；（4）相等；（5）互相平分. 4.相等，2.

5．相等，互相平分. 6．全等，全等.

【问题探究】

例1．证法一：在□ABCD中， ∵AB∥CD，∴∠GBF=∠HDE， ∵AB＝CD ，AG＝CH，∴GB=HD， ∵BE＝DF，∴BF=DE， ∴?GBF??HDE， ∴GF=HE，∠BFG=∠DEH， ∴GF∥HE，

∴四边形GEHF是平行四边形． 证法二：连接GH交BD于点O．

在□ABCD中，∵AB∥CD，∴∠GBF=∠HCE， ∵AB＝CD ，AG＝CH，∴GB=HD， 又∵∠GOB=∠HOD， ∴?GOB??HOD， ∴OG＝OH，OB＝OD ， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF，

∴四边形GEHF是平行四边形．

【变式】解:图中∠CBA＝∠E,理由如下： 证法一：∵AD＝BE，

∴AD＋DB＝BE＋DB即AB＝DE ， ∵AC∥DF ∴∠A＝∠FDE ， 又∵AC＝DF，

∴△ABC≌△DEF， ∴∠CBA＝∠E. 证法2：∵AC＝DF，AC∥DF ∴四边形ADFC是平行四边形 ∴CF∥AD，CF＝AD

∵AD＝BE ∴CF＝BE，CF∥BE ∴四边形BEFC是平行四边形 ∴∠FCB＝∠E.

例2．选B，提示：对于①，连结CF，∵CD＝AB＝EB，FD＝AD＝CB，∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC，成立；对于②，由①可知∠CDF＝∠EBC，∵AD∥BC,∴∠EGB＝∠EAD，又∠GEB＝∠FAD＝60°，∴∠EBC＝∠GEB＋∠EGB＝∠FAD＋∠EAD＝∠EAF，∴②成立；对于③，通过①，②可证△CDF≌△EBC≌△EAF，∴EC＝CF＝EF，△ECF是等边三角形；对于④，条件不足，不能判断结论的正确性． 【变式】证明:(1)∵△ABC是等边三角形 ∴∠B＝60o, ∵∠EFB＝60o, ∴∠B＝∠EFB ∴EF∥DC ∵EF＝DC

∴四边形EFCD是平行四边形 (2)证明:如图,连接BE ∵BE＝EF, ∠EFB＝60o

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苏科版教学案 八年级第三章 3.4平行四边形（第3课时） 顾厚春

∴△EBF是等边三角形 ∴EB＝EF, ∠EBF＝60o ∵DC＝EF ∴EB＝DC

∵△ABC是等边三角形 ∴∠ACB＝60o,AB＝AC ∴∠EBF＝∠ACB ∴△AEB≌△ADC ∴AE＝AD

例3．解：正确．理由如下：过点E作ED∥AC，交AB于点D． ∵ED∥AC，EF∥AB，

∴四边形ADEF是平行四边形， ∴AD=EF，

∵GH∥AB，∴∠B=∠HGC，∠A=∠GHC， ∵ED∥AC，∴∠BDE=∠A， ∴∠BDE=∠GHC， 又∵BE=CG，

∴△BDE≌△GHC（AAS）， ∴BD=GH，

∴AD+BD=EF+GH， ∴AB=EF+GH =14m．

【变式】证明：延长PM至点E，使EM=PM，连接AE、CE、QE、CP， ∵BM=CM，EM=PM，

∴四边形BECP是平行四边形，

∴PB=CE，BP∥CE,∴∠ECA=180-∠A=90,

222

∴QE =CE +QC ．

∵QM⊥PE，EM=PM，∴QE=PQ,

222

∴PQ =PB +QC ．

【课堂操练】

1.证明：（1）∵△ACD和△ABE都是等边三角形 ∴∠EAB＝∠DAC＝60o，AB＝AE，AC＝AD ∵EF⊥AB

∴∠EFA＝∠ACB＝90o，∠AEF＝30o ∵∠BAC＝30o ∴∠BAC＝∠AEF

∴△ABC≌△EAF（AAS） ∴AC＝EF．

（2）∵∠DAC＋∠CAB＝90o 全品中考网

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∴DA⊥AB ∵EF⊥AB ∴AD∥EF

∵AC＝EF，AC＝AD ∴AD＝EF

2．如下图所示： (画法1） （画法2） 【每课一测】

（画法3）

一、选择题（每题5分，共25分） 1．D． 2．Ｄ． 3．C． 4．C． 5．Ｂ．

二、填空题（每题5分，共25分） 6．2．

7．23． 8．8． 9．a. 10．15

三、解答题（每题10分，共50分） 11.解：（1）方法一：如图，∵在□ABCD中，AD∥BC ，∴∠DAB＋∠ABC＝180° ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC ∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF ， ∴2∠BAE＋2∠ABF＝180°，即∠BAE＋∠ABF＝90°， ∴∠AMB＝90°， ∴AE⊥BF．

PDFEMAB

方法二：如图②,延长BC、AE相交于点P，∵在□ABCD中，AD∥BC ∴∠DAP＝∠APB ， ∵AE平分∠DAB ，∴∠DAP＝∠PAB ∴∠APB＝∠PAB ，∴AB＝BP ，∵BF平分∠ABP ∴AP⊥BF 即AE⊥BF．

(2)线段DF＝CE，理由如下：

∵在□ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB

又∵AE平分∠DAB ，∴∠DAE＝∠EAB ，∴∠DEA＝∠DAE ∴DE＝AD， 同理可得，CF＝BC，

又∵在□ABCD中，AD＝BC ，∴DE＝CF

C∴DE－EF＝CF－EF ，即DF＝CE． 12.(1) S1?S3=S2?S4（理由略）；(2) S1?S3=S2?S4（理由略）.

13．13．（1）证明：∵∠ABD=90°，AB∥CR，∴CR⊥BD ∵BC=CD， ∴∠BCR=∠DCR ．

∵四边形ABCR是平行四边形，∴∠BCR=∠BAR∴∠BAR=∠DCR

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DPCSAQRB

又∵AB=CR，AR=BC=CD，∴△ABR≌△CRD．

（2）由PS∥QR，PS∥RD知，点R在QD上，故BC∥AD。 又由AB=CD知∠A=∠CDA 因为SR∥PQ∥BA， 所以∠SRD=∠A=∠ CDA，从而SR=SD． 由PS∥BC及BC=CD知SP=SD。而SP=DR， 所以SR=SD=RD 故∠CDA=60°，

因此四边形ABCD还应满足BC∥AD，∠CDA=60°．

（注：若推出的条件为BC∥AD，∠BAD=60°或BC∥AD，∠BCD=120°等，亦可．） 14.证明：连接DE、DF， 在等边中，

∵AB=BD，BF=BC，∠DBF=60?-∠FBA=∠ABC， ∴△ABC≌△DBF（SAS）, ∴DF=AC=EC,

BC

FDEA又∵AE=AC，AD=AB,∠DAE=60°－∠EAB=∠BAC, ∴△ADE≌△ABC（SAS）, ∴DE=BC=CF,

∴四边形DECF是平行四边形, ∴CD与EF互相平分. 15．解：（1）△ABB’，△AOC和△BB’C． （2）在□ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠D．

由轴对称知AB’＝ AB，∠ABＣ＝ ∠AB’Ｃ． ∴AB’＝ＣＤ，∠AB’Ｏ＝∠Ｄ．

??AB?O??D,?在△AB’O和△CDO中， ??AOB???COD,

?AB??CD.?∴△AB’O≌△CDO．

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