八年级第三章3.4平行四边形（第3课时）（顾厚春）

苏科版教学案 八年级第三章 3.4平行四边形（第3课时） 顾厚春

§3.4平行四边形（第3课时）审核人：夏建平

【目标导航】

1.进一步掌握平行四边形的有关性质和判定方法；

2.能综合运用平行四边形的性质和判定方法解决有关问题，提高几何分析、推理及计算能力．

【要点梳理】

1.定义：两组对边 的四边形叫做平行四边形.

2.性质：总体上看，平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，经过平行四边形两对角线

交点的直线平分 .反过来说，一个四边形若是中心对称图形，则此四边形一定是平行四边形.具体来说，平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线 . 3．判定方法： （1）（定义）两组对边分别 的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别 的四边形是平行四边形；

（3）一组对边 的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别 的四边形是平行四边形； （5）两条对角线 的四边形是平行四边形．

4.面积：平行四边形的面积：平行四边形的面积等于底与对应的高的积．等底等高的平行四边形面积 ，等底等高的平行四边形面积是三角形面积的 倍．

5. 平行四边形的作图：用尺规作图作一个平行四边形，比较简便的方法是：（1）利用两组对边分别 来作；（2）利用对角线 来作．我们可以利用平行四边形的方法经过直线外一点作已知直线的平行线.

6.平行四边形与三角形的转化：一方面，平行四边形被一条对角线分割成一对 的三角形，被两条对角线分割成两对 的三角形；另一方面，将一个三角形绕着它的一边中点旋转180，所得的三角形与原三角形组成一个平行四边形．所以在一定条件下，平行四边形的问题与三角形的问题可以相互转化．

【问题探究】

知识点1：综合运用平行四边形的性质与判定方法解决问题 例1．（2007·辽宁沈阳）如图3.4-3-1，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD

上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．

求证：四边形GEHF是平行四边形．

?

【变式】(2009·福建宁德)如图3.4-1-2,点A．D．B．E在同一直线上，

AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角， 并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）

知识点2：综合运用平行四边形与三角形的有关知识解决问题 例2．（2010·重庆綦江）如图3.1-3-3，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、

△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下四个结论一定正确的是 （ ） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF;③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE. A．只有①② B．只有①②③

C．只有③④ D．①②③④

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【变式】（2010·广东厦门）如图3.4-3-4，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB＝

60o, EF＝DC.

(1)求证：四边形EFCD是平行四边形； (2) 若BE＝EF,,求证AE＝AD.

（图3.4-3-4）

知识点3：构造平行四边形解决问题

例3．小明为测量池塘的宽度，在池塘的两侧A，B引两条直线AC，BC相交于点C，在BC上取点E，G，使

BE=CG，再分别过点E，G作EF∥AB，GH∥AB，交AC于点F，H．测出EF=10m，GH=4m（如图3.4-3-5）．小明就得出了结论：池塘的宽AB为14m．你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．

（图3.4-3-5）

【变式】请利用构造平行四边形的方法解决下列问题：如图3.4-3-6，已知M是RtΔABC斜边BC的中点，P、Q

分别在AB、AC上，且PM⊥QM． 求证：PQ2 =PB2 +QC2 ．

（图3.4-3-6）

【课堂操练】

1.（2010 广东汕头）如图3.4-3-7，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30o，EF⊥AB，垂足为F，连结DF． （1）试说明AC＝EF；

（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

（图3.4-3-7）

2.如图，将五个小平行四边形拼在一起，请画出一条直线，将这个图形分成面积相等的两个部分（至少给出两种 画法）.

（图3.4-3-8-①） （图3.4-3-8-②） （图3.4-3-8-③）

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【每课一测】

（完成时间：45分钟，满分：100分）

一、选择题（每题5分，共25分）

1．下列说法正确的是 （ ）

A．有两对角相等的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线相等 C．平行四边形的对角互补、邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等 2．（2006·山东德州）在△MBN中，BM=6，点A，C，D分别在MB，NB， MN上，四边形ABCD为平行四边形，且 ∠NDC=∠MDA， 则平行四边形ABCD的周长是 （ ） Ａ．24 Ｂ．18 Ｃ．16 Ｄ．12

（第2题图） （第3题图） （第4题图） （第6题图）

3．（2008·四川达州）如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF?分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB??∥DC，EF∥DA∥CB，则有 （ ） A．S1=S4 B．S1+S4=S2+S3 C．S1S4=S2S3 D．都不对

4．如图，□ABCD中，点E、F、M、N都在其边上，EF∥AD, MN∥AB, MN与EF交于点P，且点P在对角线BD上，则图中面积相等的平行四边形共有 （ ） Ａ．1对 Ｂ．2对 Ｃ．3对 Ｄ．4对 5．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,∠AOD=∠BOC=60,且AC=BD，则线段AD与BC的和与线段AC的大小关系是 （ ） Ａ．AD+BC＞AC Ｂ．AD+BC≥AC Ｃ．AD+BC＜AC Ｄ．AD+BC≤AC

二、填空题（每题5分，共25分） 6．（2006?山东淄博）如图，已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，使△ABE的面积为1的点E共 有_______个 .

7．(2010·山东滨州).如图,平行四边形ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥B D,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为 . 8．（2006?山东日照）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且AE+AF=22，则 平行四边形ABCD的周长是 ．

o

?EADBCF（第7题图） （第8题图） （第9题图） （第10题图）

9．如图， P是边长为a的等边△ABC内任一点，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，若PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则 PD+PE+PF的值为 .

10．如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可找出____个平行四边形．

三、解答题（每题10分，共50分） 11．（2006·江苏宿迁）如图，在□ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，

交CD于点E、F，AE、BF相交于点M． （1）试说明：AE⊥BF；

（2）判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．

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12．如图①所示，设P为□ABCD内的一点，△PAB、△PBC、△PDC、△PDA?的面积分别记为S1、S2、S3、S4． (1)试比较S1?S3与S2?S4的大小，说明理由； (2)如图②所示，当点P在□ABCD外部时，S1、S2、S3、S4之间有何相等关系？说明理由．

(第12题图①) (第12题图②)

13．（2007·安徽省）如图1，在四边形ABCD中，已知AB=BC＝CD，∠BAD和∠CDA均为锐角，点P是对角线BD 上的一点，PQ∥BA交AD于点Q，PS∥BC交DC于点S，四边形PQRS是平行四边形． （1）当点P与点B重合时，图1变为图2，若∠ABD＝90°，求证：△ABR≌△CRD；

（2）对于图1，若四边形PRDS也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD还应满足什么条件？

CBPBSCRAQ图1DAR图2D（第13题图）

14. 如图所示，平面上三个等边两两共有一个顶点，求证：CD与EF互相平分.

BCFDE（第14题图）

A

15．（2010·河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称，AD和B’C相交于点O，连接BB’．

（1）请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）； （2）求证：△AB’O≌△CDO．

B'AODB（第15题图）

C

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