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24．（10.00分）问题：如图①，在Rt△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 BC=DC+EC ；

探索：如图②，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若BD=9，CD=3，求AD的长．

【分析】（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；

（2）连接CE，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠ACE=∠B，得到∠DCE=90°，根据勾股定理计算即可；

（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）BC=DC+EC， 理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，

∴BC=BD+CD=EC+CD， 故答案为：BC=DC+EC； （2）BD2+CD2=2AD2，

理由如下：连接CE，

由（1）得，△BAD≌△CAE， ∴BD=CE，∠ACE=∠B， ∴∠DCE=90°， ∴CE2+CD2=ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE， ∴BD2+CD2=2AD2；

（3）作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE， ∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAD′， 在△BAD与△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD=CE=9，

∵∠ADC=45°，∠EDA=45°， ∴∠EDC=90°， ∴DE=

∵∠DAE=90°， ∴AD=AE=

DE=6．

=6

，

25．（12.00分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜

）上方的部分沿

直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象． （1）点A，B，D的坐标分别为 （，0） ， （3，0） ， （，

） ；

（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；

（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；

（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；

（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．

【解答】解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0， 解得：x1=，x2=3，

∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）． ∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+∴点D的坐标为（，

）．

）．

，

故答案为：（，0）；（3，0）；（，

（2）∵点E、点D关于直线y=t对称， ∴点E的坐标为（，2t﹣

）．

当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1， ∴点C的坐标为（0，﹣1）．

设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b， 将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，

，解得：

，

∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1． ∵点E在△ABC内（含边界），

∴，

解得：≤t≤．

（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1； 当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．

假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m． ①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1）， ∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，