高中数学 1.1.3 四种命题间的相互关系目标导学 新人教A版选修1-1

问题导学

一、四种命题的概念与形式

活动与探究1

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)若a＋5是有理数，则a是无理数； (2)若ab＝0，则a，b中至少有一个为零； (3)垂直于同一平面的两条直线平行．

迁移与应用

1．命题“若α＝π

4

，则tan α＝1”的逆否命题是( )

A．若α≠π

4，则tan α≠1

B．若α＝π

4

，则tan α≠1

C．若tan α≠1，则α≠π

4

D．若tan α≠1，则α＝π

4

2．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题． (1)实数的平方是非负数；

1

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．

(3)对于一些关键词语如“至少”“至多”“＞”“≥”“都”等的否定要注意改写正确．

二、四种命题的真假

活动与探究2

已知下列命题：

22

①“若a＞b，则ac＞bc”的逆命题；

②“若两个角是对顶角，则这两个角相等”的否命题；

ax④“若x＋y＝5，则x＝2且y＝3”的否命题．

其中为真命题的是( )

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④

③“若a＝1，则函数f(x)＝在(0，＋∞)上为减函数”的逆否命题；

2

迁移与应用

1．有下列四个命题：

2

①“若b＝ac，则a，b，c成等比数列”的否命题；

②“若m＝2，则直线x＋y＝0与直线2x＋my＋1＝0平行”的逆命题；

③“已知a，b是非零向量，若a·b＞0，则a与b方向相同”的逆否命题；

2

④“若x≤3，则x－x－6＞0”的逆否命题． 其中为真命题的个数是( )

A．1 B．2 C．3 D．4

2．判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．

(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；

22

(2)若在二次函数y＝ax＋bx＋c中，b－4ac＜0，则该二次函数图象与x轴有公共点； (3)在△ABC中，若a＞b，则∠A＞∠B．

(1)判断四种命题的真假，可以通过逻辑证明或举反例进行判断．

(2)判断四种命题的真假可以利用真假性关系：原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价，它们同真同假，在只要求判断真假的题目中，可以不一一写出逐个判断，利用等价性判断更为方便简捷．

三、等价命题的应用

3

活动与探究3

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判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．

迁移与应用

设a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．

4