(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第七章 数列、推理与证明 第38课 数列的概念 文

例2 (2014·南京学情调研改编)在无穷数列{an}中，a1，a2，…，am构成首项为2、公

11差为-2的等差数列，am+1，am+2，…，a2m构成首项为2、公比为2的等比数列，其中m≥3，

m∈N*.求当1≤n≤2m，m∈N*时，求数列{an}的通项公式.

【思维引导】根据数列的定义，求出当1≤n≤2m时，数列{an}的通项公式，注意根据n的取值，利用分段数列的形式表示数列{an}的通项公式.

【解答】当1≤n≤m时，由题意得an=-2n+4.

?1???当m+1≤n≤2m时，由题意得an=?2?故1≤n≤2m，m∈N时，

*

n-m.

，?n?m，?-2n?41?n-m??1????，m?1?n?2m.2数列{an}的通项公式为an=???

【精要点评】在高考中，数列通项经常以分段形式出现，有时由于奇偶项关系不同要进行分段描述.我们既要注意从哪分开讨论，也要注意下标与项之间的关系.

根据Sn求an 例3 已知数列{an}的前n项和Sn=n+n+1. (1)写出数列{an}的前5项.

(2)数列{an}是等差数列吗?请说明理由. (3)写出数列{an}的通项公式.

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?Sn-Sn-1，n?2，?S，n?1【思维引导】(1)题中条件给出了前n项和Sn的表达式，从而可以利用an=?1写出数列{an}的前5项；(2)若数列{an}是等差数列，则需满足an+1-an=d对所有的n∈N恒成立，而由(1)可知a3-a2≠a2-a1，从而可以说明数列{an}不是等差数列；(3)考虑到当n≥2时，an=Sn-*

Sn-1，当n=1时，a1=S1，可得数列{an}的通项公式.

【解答】(1)因为Sn=n+n+1， 所以a1=S1=3，a2=S2-S1=7-3=4，

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a3=S3-S2=13-7=6， a4=S4-S3=21-13=8， a5=S5-S4=31-21=10.

综上，数列{an}的前5项是3，4，6，8，10. (2)由(1)可知，a2-a1=4-3=1，a3-a2=6-4=2， 所以a3-a2≠a2-a1，

所以数列{an}不是等差数列. (3)因为当n≥2时，an=Sn-Sn-1，

所以an=n+n+1-[(n-1)+(n-1)+1]=2n(n≥2)，a1=S1=3，不满足上式.

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?3，n?1，?2n，n?2.

所以数列{an}的通项公式为an=?【精要点评】(1)此类题往往容易忽略n=1的情况，有时还要注意n=2，n=3等前几项是否符合通项.(2)另外，通过列举前几项，更容易验证前几项是否符合通项.

n?2n-1*

变式 (2015·广东卷)已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=4-2(n∈N).

(1)求a3的值；

(2)求数列{an}前n项和Tn.

3?2?4-2?2?31??2-13-12?=4，所以a3=4. 【解答】(1)由题意得3a3=(a1+2a2+3a3)-(a1+2a2)=4-2-?(2)由题设得当n≥1时，

?n?1?n?2n4-n-2??n-1n-1nan=(a1+2a2+…+nan)-[a1+2a2+…+(n-1)an-1]=4-2-?2?=2，所以?1???an=?2?n-1，

n-1?1?1?2??02又a1=4-=1也适合此式，所以an=?2?.

1所以数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，

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?1?1-???2?n-11??11-??2故Tn==2-?2?.

数列的单调性

n?1??-?例4 (2015·扬州期末)设数列{an}的前n项和为Sn，且an=4+?2?， 若对任意

n∈N*，都有1≤p(Sn-4n)≤3， 求实数p的取值范围.

【思维引导】求参数的常用方法是分离参数，所以首先将参数p进行分离，从而将问题转

n-1?1??-?化为求函数f(n)=Sn-4n的最大值与最小值，再注意到题中含有?2?，涉及负数的乘方，所

以需对n进行分类讨论.

n-1?1?1-?-??2???1?n?2?1??1-?-??1-?-?3??2???. 【解答】令f(n)=Sn-4n=4n+?2?-4n=?当n∈N时，f(n)>0.

*

n?1?2??当n为奇数时，f(n)=3[1+?2?]单调递减，

则当n=1时，f(n)max=1；

n?1?2??3当n为偶数时，f(n)=[1-?2?]单调递增，

n1则当n=2时，f(n)min=2.

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S-4n≤p≤Sn-4n，所以2≤p≤3. 又n

【精要点评】(1)本题的本质是研究数列的最值问题，因此，需要通过研究数列的单调性解决问题.(2)需要注意的是，由于本题是离散型的函数问题，所以要注意解题过程的特殊性，

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如果写成“当n为奇数时，f(n)=

2??1??1???3???2?n??2??1??，?3?，单调递减，此时f(n)∈??；当n为偶数

时，f(n)=

2??1??1-??3???2?n??1??，1????，单调递增，此时f(n)∈?2?”是不正确的，因为f(n)并不能取到

?1??2??1?1??，1??，1??2，32??∪??=??内的所有值.(3)除了单调性，本题还涉及分段数列及分奇偶项讨论问

题，此外数列的周期性也是常考的知识点.

变式 已知数列{an}的通项公式是an=n-12n+34. (1)试求n的取值集合，使得an>an+1.

(2)试问：该数列中是否存在最小的项?若存在，是第几项?若不存在，请说明理由. 【思维引导】数列的通项公式对应的是一个二次函数模型，可以用函数的观点来解决. 【解答】设函数f(n)=n-12n+34=(n-6)-2. 当1≤n≤6时，f(n)单调递减； 当n≥6时，f(n)单调递增.

所以当n=6时，函数f(n)取得最小值f(6)=-2. (1)当n∈{1，2，3，4，5}时，有an>an+1； (2)该数列中存在最小的项，是第6项，即a6=-2.

【精要点评】数列是特殊的函数，对于数列中的大小关系以及递增、递减等问题我们常常可以用函数的观点去分析，运用函数的方法使问题获解.

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1.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中，第25项为 . 【答案】7

【解析】因为1+2+3+4+5+6=21，1+2+3+4+5+6+7=28，所以第25项为7.

2.已知数列{an}的前n项和为Sn=3-1，那么该数列的通项公式为an= . 【答案】2×3

n-1

n 8