第26讲平面向量的数量积及应用

第二十六讲 平面向量的数量积及应用

一、复习目标要求

1．平面向量的数量积

①通过物理中\功\等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2．向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

二、2010年命题预测

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。

预测2010年高考：

（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。 （2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；

三、知识精点讲解

1．向量的数量积

（1）两个非零向量的夹角

已知非零向量A与A，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝Θ（０≤Θ≤Π）叫a与b的夹角； 说明：（1）当Θ＝０时，a与b同向； （2）当Θ＝Π时，a与b反向； （3）当Θ＝

?时，a与b垂直，记a⊥b； 2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0?≤?≤180?。

C

（2）数量积的概念

rrrrrrrrb=︱a︱·已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，则a·︱b︱COS?叫做a与b的数量积（或

内积）。规定0?a?0；

rrrrrrra?b向量的投影：︱b︱COS?=r∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影；

|a|rrrrrb等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。 （3）数量积的几何意义： a·

（4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：a?a?a?|a|。 ②乘法公式成立

rrr2r2????rrrrrr?a?b??a?2a?b?b22rrrrr2r2r2r2a?b?a?b?a?b?a?b；

2r2rrr2?a?2a?b?b；

③平面向量数量积的运算律

rrrr交换律成立：a?b?b?a；

rrrrrr对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b???R?；

??rrrrrrrrrr分配律成立：?a?b??c?a?c?b?c?c??a?b?。

??rrrrx1x2?y1y2a?b④向量的夹角：COS?=cos?a,b??rr=。

2222a?bx1?y1?x2?y2rrrrr00

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，Θ=0，当且仅当a与b反方向时Θ=180，同时0与其它任

何非零向量之间不谈夹角这一问题。

（5）两个向量的数量积的坐标运算

rrrrb=x1x2?y1y2。 已知两个向量a?(x1,y1),b?(x2,y2)，则a·

rrrrrr0

（6）垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b。

????两个非零向量垂直的充要条件：a⊥b?a·b＝O?x1x2?y1y2?0，平面向量数量积的性质。

（7）平面内两点间的距离公式 设a?(x,y)，则|a|2?x2?y2或|a|?x2?y2。

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么

|a|?(x1?x2)2?(y1?y2)2(平面内两点间的距离公式)。

2．向量的应用

（1）向量在几何中的应用； （2）向量在物理中的应用。

四．典例解析

题型1：数量积的概念

例1．判断下列各命题正确与否：

r（1）0?a?0；

rr（2）0?a?0；

rrrrrrr（3）若a?0,a?b?a?c，则b?c；

rrrrrrrr（4）若a?b?a?c，则b?c当且仅当a?0时成立； rrrrrrrrr（5）(a?b)?c?a?(b?c)对任意a,b,c向量都成立；

（6）对任意向量a，有a?a。

解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。

点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚0?a为零向量，而0?a为零。

例2．（1）（2002上海春，13）若a、b、c为任意向量，M∈R，则下列等式不一定成立的是（ ） ．．．A．(a?b)?c?a?(b?c) C．M（a?b）=Ma+Mb

B．(a?b)?c?a?c?b?c

rr2r2 D．(a?b)?c?a?(b?c)

（2）(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（a·b）c－（c·a）b=0 ②|a|－|b|<|a－b| ③（b·c）a－（c·a）b不与c垂直 ④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命题的有（ ） A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

解析：（1）答案：D；因为(a?b)?c?|a|?|b|cos??c，而a?(b?c)?|b|?|c|cos??a；而c方向与

a方向不一定同向。

（2）答案：D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假；②由向量的减法运算可知|a|、|b|、|a－

b|恰为一个三角形的三条边长，b］由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（b·c）a－（c·a）·c=

（b·c）a·c－（c·a）b·c=0，所以垂直.故③假；④（3a+2b）（3a－2b）=9·a·a－4b·b=9|a|2－4|b|2成立。故④真。

点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。 题型2：向量的夹角

例3．（1）（06全国1文，1）已知向量a、b满足|a|?1、|b|?4，且a?b?2，则a与b的夹角为（ ）

A．

???? B． C． D． 6432（2）（06北京文，12）已知向量a=(COS?,SIN?),b=(COS?,SIN?),且a??b，那么a?b与a?b的夹角的大小是 。

rrrrrrrrrr0（3）已知两单位向量a与b的夹角为120，若c?2a?b,d?3b?a，试求c与d的夹角。

（4）（2005北京3）| a|=1，| b |=2，c= a+ b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为

A．30°

解析：（1）C；（2）

B．60°

C．120°

D．150°

（ ）

?； 2rrrr0（3）由题意，a?b?1，且a与b的夹角为120，

rrrr10所以，a?b?abcos120??，

2r2rrr2rrrrr2rrQc?c?c?(2a?b)?(2a?b)?4a?4a?b?b?7，

r?c?7，

r同理可得?d?13。

rrr2rrrrrrr217而c?d?(2a?b)?(3b?a)?7a?b?3b?2a??，

2rr设?为c与d的夹角，

则cos??172713????1791。 182??????2??（4）C；设所求两向量的夹角为?

Qc?a?b　　c?a ?c.a?(a?b).a?a?a.b?0

?|a|2??|a||b|cos? 即：cos??所以??120.

o???????|a|??2|a||b|???1 ???2|b||a|?点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式cos?????a?b|a|?|b|?，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的

求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于a.b?|a||b|cos?这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。

例4．（1）（06全国1理，9）设平面向量a1、a2、a3的和a1?a2?a3?0。如果向量b1、b2、b3，满足|bi|?2|ai|，且ai顺时针旋转30后与bi同向，其中i?1,2,3，则（ ）

A．－b1+b2+b3=0 B．b1-b2+b3=0 C．b1+b2-b3=0 D．b1+b2+b3=0

o