（完整版）指数函数和对数函数复习（有详细知识点和习题详解）,推荐文档

一、指数的性质 （一）整数指数幂

n1．整数指数幂概念： a?a???a (n?N) a0?1?a?0? ???a????n个a a?n?1? a?0,n?N??namnm?nmn2．整数指数幂的运算性质：（1）a?a?a?m,n?Z? （2）?a?nnn（3）?ab??a?b?n?Z?

nm?n?amn?m,n?Z?

其中a?a?a?amnm?n?aan?a??1nn?n， ????a?b??a?b?n．

b?b?3．a的n次方根的概念 即： 若xn一般地，如果一个数的n次方等于an?1,n?N?，那么这个数叫做a的n次方根，

?a，则x叫做a的n次方根， ?n?1,n?N?

???例如：27的3次方根327?3， ?27的3次方根3?27??3，

32的5次方根532?2， ?32的5次方根5?32??2．

说明：①若n是奇数，则a的n次方根记作na； 若a?0则na?0，若a?o则na?0；

②若n是偶数，且a?0则a的正的n次方根记作na，a的负的n次方根，记作：

?na；（例如：8的平方根?8??22 16的4次方根?416??2）

③若n是偶数，且a?0则na没意义，即负数没有偶次方根； ④?0?0n?1,n?Nn??? ∴n0?0；

⑤式子a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。 ∴

n?a?nn?a．

．

4．a的n次方根的性质

一般地，若n是奇数，则nan?a；

?a 若n是偶数，则a?a????anna?0a?0．

5．例题分析：

例1．求下列各式的值：

（1）3?83 （2）

????10?2 （3）4?3??? （4）

4?a?b?2?a?b?解：略。

例2．已知a?b?0, n?1,n?N， 化简：n?a?b??n?a?b?．

?nn解：当n是奇数时，原式?(a?b)?(a?b)?2a

当n是偶数时，原式?|a?b|?|a?b|?(b?a)?(?a?b)??2a 所以，n?a?b??n?a?b???nn?2an为奇数．

??2an为偶数(5?2)2?(5?2)2?25

例3．计算：7?40?7?40

解：7?40?7?40?例4．求值：

59??5． 2459?45??2425（5?2）? 2459解：??5?24?255?26?25（5?1）5?1 ????22442（二）分数指数幂

1．分数指数幂：

5a?a?a102105?a?0?

3a?a?a124123?a?0?

即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）a3??kn?akn对分数指数幂也适用，

442255?3?4?2???5232例如：若a?0，则?a3??a3?a，?a4??a4?a， ∴a?a3

????a?a．

545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是a? （2）正数的负分数指数幂的意义是am?nmnnam?a?0,m,n?N?,n?1?；

1amn??1nam?a?0,m,n?N,n?1?．

?2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用

即

?1?aa?a?a?0,r,s?Q?r3ab?????arbr?a?0,b?0,r?Q?

rsr?s

?2??ars??ars?a?0,r,s?Q?

说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；

（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。

3．例题分析：

例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式?a?o?： a?a， a3?3a2， 解：a?a=a?a?a33232322aa.

2122?12?a；

1252 a?a=a?a?a；

3????aa=?a?a???a??a4．

????121232113例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．

3115111????2?????（1）?2a3b2???6a2b3????3a6b6?； （2）?m4n8?；

????????15111?2?????解（1）?2a3b2???6a2b3????3a6b6?

??????8 =??2???6????3???a =4ab?4a；

08211??326b115??236

33???1??1???8m22?3844 （2） ?mn?=?m??n?=mn?3．

n??????例3．计算下列各式：

a234（1）5?125?5 （2）?a?0?．

32aa2231131??3解：（1）5?125?45=?53?52??54=53?54?52?54

??88???? =5?5=1255?545； （2）51254a2a3a2=

a2aa1223?a?6a5．

56（三）综合应用

例1．化简：5解：5x?1x?1?5x?5x?1.

?5x?5x?1=5x?1(1?5?25)=31?5x?1=

1212141431x?5. 5 例2．化简：(x?y)?(x?y).

解：(x?y)?(x?y)?(x?y)(x?y)?(x?y) ?x?y．

评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即(x)?x，由此联想到平方差公式的特点，

进而使问题得到解决。 例3．已知x?x1212121414141414141414141414212?1（1）x?x；（2）x?x. ?3，求下列各式的值：

?12212?1232?32解：（1）Q(x?x12?)?(x)?2xx12212?12?(x)

?122?x1?x?1?2?3?2?5，

∴x?x12??5，

又由x?x12?1??3得x?0，∴x?x1212?12?0，

所以x?x

?5.

（2）（法一）x?x12?1232?32＝（x)?(x)?(x?x)[(x)?xx123?12312?1212212?12?(x)]

?122?(x?x)[(x?x?1)?1]?5(3?1)?25，

（法二）[(x)?(x而x?x3232?32)]?(x)?(x)?2xx2322?322?32?32?x3?x?3?2

3?3?(x?x?1)(x2?x?2?1)

322?(x?x?1)[(x?x?1)2?3]?3?(32?3)?18

∴(x?x)?20，

又由x?x32??1?3?0得x?0，∴x?x?3232?32?0，

所以x?x?20?25. 二、指数函数

1．指数函数定义：

一般地，函数y?a（a?0且a?1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R．

x2．指数函数y?a在底数a?1及0?a?1这两种情况下的图象和性质：

xa?1 0?a?1 图象