华中师大《高等几何》练习题库及答案

2．作已知点P关于二阶曲线C的极线。 P

3．作已知直线p关于二阶曲线c的极点。

4．作出下图的对偶图形。

5．作出下图的对偶图形。

C c p

6．作图证明：给定直线p上四个不同点A,B,C,D，建立一个射影对应使得

p(A,B,C,D)?p(C,D,A,B)

7．已知P点在二阶曲线上，求作点P的极线。 8．给定二阶曲线上5点，求作曲线上另外一些点。

《高等几何》练习题库参考答案

一 填空题 1．13，5，5

2．定义叙述，公理列举，定理的叙述和证明 3．4，16

5

4．连续递增

5．相交，平行，超平行 6．(1,k,0)

7．点列的底的交点是自对应点 8．无穷远直线 9．(AB,CD)??1

10．圆点

11．公理系统的无矛盾性、公理系统的独立性、公理系统的完备性 12．连续递减 13．6d2d 2d

14．任何一对对应元素与两个自对应元素调和共扼 15．交比

16．调和共轭 17．(1,i,0),(1,?i,0)

18．3 19．古典公理法

20．如果两条直线与第三条直线相交，所构成的同侧内角的和小于两个直角，则这两条直线在这一侧相交 21．几何基础 22．欧几里得

23．通过直线外的每一点，至少存在两条直线与已知直线不相交. 24．小于 25．二直角；六直角

26．外切于一条非退化的二阶曲线的简单六线形的三对对顶点的连线共点。 27．无穷远点

28．非奇异线性变换 29．迷向直线 30．欧几里得 31．实点；实直线 32．“过一点作一直线”和“在直线上取一点” 33．上底角小于直角

34．两个三点形对应顶点的连线交于一点，那么对应边的交点在同一直线上. 35．在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立. 36．2

37．自极三点形

38．内接于一条非退化的二阶曲线的简单六点形的三对对边的交点共线. 39．几何原本

40．小于180度的大圆弧 41. 单比，交比 42.（1,-3,0）

6

43.x3?0

44.2??'?5(???')?12?0 45. (?12,?2)

46.两条直线确定一个交点 47.(2,-1,2) 48.

12 二 计算题

1．实点为(3,?8,?2)

2．?23 3．x???x 4．????4?0

5．9X1?2X2?4X3?0 6．实直线为x3?0 7．

12 8．2，3

9．?????????2?0 10．(?3,1,1) 11．(1,?2,4) 12．X2?0 13．(1,?3,0) 14．?5

15．2?????0

16．15X1?11X2?14X3?017．(1,?1,0) 18．D(3,1,3)

19．X1?3X2?X3?0 20．X1?X2?3X3?0

7

21．?????????1?0 22．????2??2???0 23．19X1?4X2?0

24.解：在直线x?2y?1?0上任取两点A(1,0),B(?1,1) 由A(1,0)?A(1,0),B(?1,1)?B(?1,1),(1,?1)?(?1,2)

?x'?a11x?a12y?a13设仿射变换为?' 将点的坐标代入可解得

?y?a21x?a22y?a23?x'?2x?2y?1? ?'33 ?y??x?2y??22

25.解：过A,B的直线方程为：x?9y?15?0 直线AB与x?3y?6?0的交点为P(,) 所以 (ABP)??1 三 证明题

1．设O?AP?BQ,M?AQ?BP?,N?AQ??BP，考虑三点形P?MQ,PNQ?，因

3322PP?,MN,QQ?共点，故对应边的交点共线，即PQ′与P′Q的交点在AB上。

2．设u1?3u1u2?u2?(u1??u2)(u1??u2)，可得两个点的方程为

22u1??u2?0,u1??u2?0

用坐标表示为(1,??,0),(1,??,0). 这两个点在直线簇y???x?a,2y???x?b上。

22又?,?为x?3x?1?0的根，根据韦达定理，????1，故u1?3u1u2?u2?0决定的

点(1,??,0),(1,??,0)在相互垂直的两条直线上。

3．考虑以A,B?,C,A?,B,C?为顶的简单六线形。三对对顶连线是BB?,CC?,AA?，由题设它们共点。由布里安香定理的逆定理知结论成立。

4．取不在p上的点P，通过B的不同于p的直线q与PA,PC,PD分别交于A?,C?,D?。 记PD为r，A?C与r交于D??，则有

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