构造法证明不等式

宁波大学理学院本科毕业设计（论文）

[2(b?2a?c)]2?12(a?2b?c)(a?c)，

则式

[2(b?2a?c)]2?12(a?2b?c)(a?c)

当a?c时，可以看作一元二次方程

3(a?c)x2?2(b?2a?c)x?a?2b?c?0 （1）

的判别式。

观察知道x?1是（1）的一个根，因此判别式

[2(b?2a?c)]2?12(a?2b?c)(a?c)?0

即

(b?2a?c)2?3(a?2b?c)(a?c)

等号成立的条件是?2(b?2a?c)?2，即

3(a?c)a?b?2c。

当然，此题方法不止一种 证法二：作差法

(b?2a?c)2?3(a?2b?c)(a?c)?a2?b2?4c2?2ab?4ac?4bc?a2?2a(b?2c)?b2?4bc?4c2?a2?2a(b?2c)?(b?2c)2?(a?b?2c)2?0?(b?2a?c)2?3(a?2b?c)(a?c)

\?\成立的条件是

a?b?2c

评注：这里用到了主元法。 3.2构造数列

构造数列证明不等式，主要是利用数列的单调性。 例6对一切大于1的自然数，证明：(1?)(1?)...(1?131512n?1)? 2n?12 分析：这是上面所说的数列型不等式，因此可以构造相应的函数证明。但除此而外，也可以

19

构造法证明不等式（论文题目）

构造数列进行证明。

证明：构造数列

1111 an?(1?)(1?)...(1?)352n?12n?1则

11111an?1?(1?)(1?)...(1?)(1?) 352n?12n?12n?3an?12n?22n?1 ?an2n?12n?3若能证明

2n?2?2n?12n?3， 2n?1问题得证。上式等价于

2n?3?2n?2?? ??2n?12n?1??一种方法是把上式化为多项式不等式，思路是简单的，计算也不复杂。另一种方法是将上式变形为

21?2?1??1? ??2n?12n?1??由伯努利不等式

2?1?x?2?1?2x

立即得到。

?an?1?an?a1?即

4151? 1521112n?1(1?)(1?)...(1?)?

352n?12证毕。

20

宁波大学理学院本科毕业设计（论文）

3.3构造图形

不等式证明中，我们通常习惯与从代数的角度考虑问题。但某些不等式具有较为明显的几何背景，这时若能适当联想，则问题很可能顺利得到解决。常利用勾股定理、面积关系、边长关系、周长关系、正弦定理、余弦定理。

例8 已知a，b，C∈R? 求证：

?cyca2?b2?ab??3a

cyc分析：通过观察我们可以发现，不等式左边每一项根号下都据有余弦定理的形式，因此考虑构造三角形。由于不等式是轮换对称的，故而只需要取一个来构造就可以了。

证明：a?b?ab?a?b?2cos22222?ab 3作如下图的三角形

?BAD?2?3

AB?a,AD?b,?ACB??,则BD?a2?b2?ab AC为?BAD的角平分线。设由正弦定理得

BCsin??asin?

b??sin?sin33DCBD?BC?DC?313(a?b)?(a?b) 2sin?23(a?b) 2即a?b?ab?同理

22 21

构造法证明不等式（论文题目）

a2?c2?ac?3(a?c) 2b2?c2?ac?3?(b?c)2各式相加即得

?cyca2?b2?ab??3a

cyc实际上此题也可构造基本不等式，有以下解法 证法二

a?b?ab??3(a?b)222?a?b?2?ab??a?b?2?a?b??42

同理有

a?c?ac??3(a?c)2b2?c2?ac??3(b?c)222?a?c?2?ac??a?c?2?a?c??42 ?b?c?2?ac??b?c?2?b?c??42 各式相加即得证。

上面两种证法各有千秋——第一种方法充满奇思妙想，让人耳目一新；第二种方法简洁明了，一气呵成，体现了数学的变化之美。都给人以美的享受。

再看一例

22例9 求证：x?y?x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22

分析：此题可以可以构造图形来解决，一直不等式左边每一项均可看作点(x,y)到某些定点的距离，这些点是A(0,0),B(0,1),D(1,0),C(1,1),这四个点是边长为1的正方形的顶点。

证明：如图

22