第二部分第1讲第2课时专题强化精练提能

1．(2015·河北省五校联盟质量监测)已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1＋i)＝

m＋ni

7＋ni，则＝( )

m－ni

A．－1 B．1 C．－i D．i

m＋ni7＋7i

解析：选D.由m(1＋i)＝7＋ni得m－7＋(m－n)i＝0，所以m＝n＝7.所以＝＝m－ni7－7i

1＋i（1＋i）2

＝＝i，故选D.

21－i

2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )

222A. B． 33323C. D． 33

11?－x， 解析：选B.由x2＋3xy－1＝0可得y＝?3?x?

11?－x 所以x＋y＝x＋?3?x?

2x122?2?. ＝＋≥当且仅当x＝时等号成立33x3?2?

3．已知三棱柱的底面为正三角形，且侧棱垂直于底面，其侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )

83A. B．43

32383C. D．43或 93

1

解析：选D.当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝2×3××4＝43；当长、宽分

2

423183

别为4和6时，体积V＝×××6＝.

3323

sin x＋cos x＋|sin x－cos x|

4．(2015·江西省八所中学联考)已知函数f(x)＝，则下列结论2

正确的是( )

A．f(x)是奇函数

π

B．f(x)在?0，?上递增

2??

C．f(x)是周期函数

D．f(x)的值域为[－1，1]

解析：选C.由题意得，f(x)本质上为取sin x，cos x中的较大值，为周期函数，周期T＝2π，在(0，2π]上的解析式为：

π

cos x，x∈?0，?4??

??π5π

f(x)＝?sin x，x∈?，?.因为f(x)为非奇非偶函数，

4??4

?5π，2π??cos x，x∈??4?

πππ

所以A错误；f(x)在?0，?上单调递减，在?，?上单调递增，所以B错误；C正确；

4???42?2?

，所以D错误．

?2，1?

5．(2015·郑州模拟)若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1，4]上单调递减，则实数t的取值范围是( )

51－∞，? A.?B．(－∞，3] 8??51

，＋∞? C.?D．[3，＋∞) 8??

解析：选C.f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1，4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1，

1133

x＋?在[1，4]上恒成立，因为y＝?x＋?在[1，4]4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥?2?x?2?x?1513

4＋?＝，故选C. 上单调递增，所以t≥?4?82?

－

6．(2015·山西省考前质量检测)若关于x的不等式4ax1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，则a的取值范围为( )

1?0，1? 0，? A.?B．?2??2?C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)

33－－－

解析：选B.不等式4ax1<3x－4等价于ax11

44

时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0

3－

在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，由题意知，f(2)≤g(2)，即a21≤×2

4

11

0，?，故选B. －1，即a≤，所以a的取值范围是??2?2由f(x)在(0，2π]上的解析式可知，其值域为?－

x，x≥1??log1

7．函数f(x)＝?2的值域为________．

x?2，x<1?解析：当x≥1时，log1x≤log11＝0，

2

2

所以当x≥1时，f(x)≤0.

当x<1时，0<2x<21，即0

8．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．

1－

解析：若a>1，有a2＝4，a1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－x为减函数，不合

2

题意．

－

若0

11

故a＝，m＝，检验知符合题意．

4161答案： 4

1|a|

9．设a＋b＝2，b>0，则＋的最小值为________．

2|a|b

1|a|1aa＋ba1?ba?5＋＝＋＝＋＝＋＋≥； 2|a|b2ab4ab4?4ab?4

－a?－aa＋b－a1|a|11?b13＋当a<0时，＋＝＋＝＋＝－＋?≥－＋1＝. ?2|a|b－2ab－4ab4?－4ab?44

1|a|3

综上所述，＋的最小值是.

2|a|b43答案： 4

10．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f(c)>0，则实数p的取值范围是________．

解析：若在[－1，1]内不存在c满足f(c)>0，

1p≤－或p≥1，?2?f（－1）≤0，

则?即

3?f（1）≤0，?

p≤－3或p≥.

2

33

解得p≤－3或p≥，取补集得－3

22

3－3，?. 即满足题意的实数p的取值范围是?2??

3－3，? 答案：?2??

11．(2015·太原市模拟)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，且c＝2，πC＝.

3

(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；

(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求A的值．

π

解：(1)因为c＝2，C＝，

3

π

所以由余弦定理得4＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2－ab，

3

因为△ABC的面积等于3，

1

所以absin C＝3，所以ab＝4，

222??a＋b－ab＝4，联立?解得a＝2，b＝2.

??ab＝4，

(2)因为sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，

所以sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A， 所以sin Bcos A＝2sin Acos A，

π

①当cos A＝0时，A＝；

2

②当cos A≠0时，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，

22??a＋b－ab＝4，2343联立?解得a＝，b＝，

33?b＝2a，?

ππ

所以b2＝a2＋c2，因为C＝，所以A＝.

36

ππ

综上所述，A＝或A＝.

26

12．(2015·河北省七校第一次联考)已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.

(1)当a>0时，解不等式f(x)≤0；

(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解．

解析：当a>0时，

???

解：(1)因为ex>0，所以不等式f(x)≤0即为ax2＋x≤0，

1

x＋?≤0， 又因为a>0，所以不等式可化为x??a?1

－，0?. 所以不等式f(x)≤0的解集为??a?

(2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex>0，所以x＝0不是方程的解，

2

所以原方程等价于ex－－1＝0.

x

22

令h(x)＝ex－－1，因为h′(x)＝ex＋2>0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，

xx

所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，

1－－

又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－2>0，h(－3)＝e3－<0，h(－2)＝e2>0，所以方程f(x)＝x

3

＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[－3，－2]上，

所以整数t的所有值为{－3，1}．

13．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝2，an＋1＝Sn＋n，等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝9，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列．

(1)求{an}，{bn}的通项公式；

1115

(2)求证：当n≥2时，2＋2＋…＋2<.

b1b2bn4

解：(1)由an＋1＝Sn＋n，得an＝Sn－1＋(n－1)(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝Sn－Sn－1＋1＝an＋1，所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)(n≥2)．

－

又a2＝3，所以an＋1＝2n2(a2＋1)＝2n，从而an＝2n－1(n≥2)．

??2，n＝1，

而a1＝2，不符合上式，所以an＝?n

?2－1，n≥2.?

因为{bn}为等差数列，且前三项的和T3＝9，所以b2＝3， 可设b1＝3－d，b3＝3＋d，由于a1＝2，a2＝3，a3＝7，于是

a1＋b1＝5－d，a2＋b2＝6，a3＋b3＝10＋d，因为a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列， 所以(5－d)(10＋d)＝36，解得d＝2或d＝－7(舍去)，所以bn＝b1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1.

1?11111?1－(2)证明：因为2＝<＝＝，

bk（2k－1）2（2k－1）2－12k（2k－2）4?k－1k?

所以，当n≥2时，

111111111??1??11?

－??＝11－＋－＋…＋?2＋2＋…＋2＝2＋2＋…＋2<1＋2??23?b1b2bn134???n－1n??（2n－1）

11151－?<1＋＝. ＋?n?4?44

x2y23

14．(2015·福州地区八校联考)设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为e＝，M是椭

ab2

圆C上的一点，且点M到椭圆C两焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的左顶点A的直线l交椭圆于另一点B，P(0，t)是y轴上一点，满足|PA|＝→→

|PB|，PA·PB＝4，求实数t的值．

解：(1)由已知得2a＝4，则a＝2，

c3又e＝＝，

a2

所以c＝3，b2＝1，

x22

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4

(2)易知A(－2，0)，设B(x1，y1)， 根据题意可知直线l的斜率存在，可设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，