2018年高考数学(理)二轮练习：专题限时集训2 解三角形问题

图2-5

610 [如图所示，连接BD，因为ABCD为圆内接四边形，所以A＋C＝180°，则cos A＝－cos C，利用余弦定理得cos A＝ 6＋5－BD3＋4－BD2472

，cos C＝，解得BD＝，所以cos C＝

2×6×52×3×47321022

－.由sinC＋cosC＝1，得sin C＝，因为A＋C＝180°， 77210所以sin A＝sin C＝，S7610.]

12．(2017·唐山石家庄联考)已知在三角形ABC中，角A，B都是锐角，且sin(B＋C)＋3sin(A＋C)cos C＝0，则tan A的最大值为________.

【导学号：07804017】

3

[因为sin(B＋C)＋3sin(A＋C)cos C＝0，所以sin(B＋C)＝－3sin Bcos C，即sin Bcos 4

四边形ABCD2

2

2

2

2

2

12101210

＝S△ABD＋S△BCD＝×5×6×＋×3×4×＝

2727

C＋cos Bsin C＝－3sin Bcos C，sin Ccos B＝－4sin Bcos C．易知C≠90°，所以tan C＝－4tan B，所以tan(A＋B)＝4tan B，所以tan A＝tan[(A＋B)－B]＝

tanA＋B－tan B3tan B＝2＝

1＋tanA＋Btan B1＋4tanB1

14

＋tan B23tan B3

≤

1

3

＝(B是锐角，tan B＞0)，449

113

当且仅当＝4tan B，即tan B＝时取等号，所以tan A的最大值为.]

tan B24三、解答题

13．(2017·湖南五市十校联考)如图2-6所示，已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的

对边，且acos C＋3asin C－b－c＝0.

图2-6

(1)求A；

1129

(2)若AD为BC边上的中线，cos B＝，AD＝，求△ABC的面积．

72[解] (1)acos C＋3asin C－b－c＝0，

由正弦定理得sin Acos C＋3sin Asin C＝sin B＋sin C， 即sin Acos C＋3sin Asin C＝sin(A＋C)＋sin C， 又sin C≠0，所以化简得3sin A－cos A＝1， 1

所以sin(A－30°)＝.

2

在△ABC中，0°＜A＜180°，所以A－30°＝30°，得A＝60°. 143

(2)在△ABC中，因为cos B＝，所以sin B＝.

77所以sin C＝sin(A＋B)＝由正弦定理得，

3114353×＋×＝. 272714

asin A7

＝＝. csin C5

129122

设a＝7x，c＝5x(x＞0)，则在△ABD中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B，即＝25x＋×49x4411

－2×5x××7x×，解得x＝1，

27所以a＝7，c＝5， 1

故S△ABC＝acsin B＝103.

2

14．(2017·洛阳一模)如图2-7，平面四边形ABDC中，∠CAD＝∠BAD＝30°.

图2-7

(1)若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的长； (2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范围.

【导学号：07804018】

[解] (1)由已知，易得∠ACB＝45°， 在△ABC中，

10CB＝?BC＝56. sin 45°sin 60°

因为AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°， 在△ABD中，∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.

在△BCD中，CD＝CB＋DB－2CB·DBcos 45°＝510－43. (2)AC＋AB＞BC＝10，

22

AB2＋AC2－1002

cos 60°＝?(AB＋AC)－100＝3AB·AC，而AB·AC 2AB·AC2

≤?

?AB＋AC?，

?

?2?

2

所以

AB＋AC3

2

－100?AB＋AC?≤??， ?2?

解得AB＋AC≤20，

故AB＋AC的取值范围为(10,20]．