必修一 函数的单调性与奇偶性 导学案

§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）

第一课时 单调性

一、学习目标

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

二、学习重点和难点

重点：函数的单调性及其几何意义．

难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性

三、学习方法指导

1、学生应按照本学案安排的先后顺序学习。本学案要在课前完成，组长检查上报。 2、在学习过程中应把自己学会的、不会的分别做上标记，以便方便在后面的学习中解

决问题。

3、知识清单应加强记忆和理解。

4、最后的两部分供学有余力者使用。 四、学习程序 （一）、课前预习部分

1、自学课本 27 页至第 30 页（学习掌握情况分别做上标记） 2、知识清单

(1) 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，

①当x1

（1） 函数f(x)?2x在x?[?1,2]上的单调性为 （ B ）

A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增

（2）．函数y＝－x2的单调减区间是( A )． A．[0，＋∞)

[来源:Z。xx。k.C om]B．(－∞，0] C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)

（3）.函数f(x)?(k?1)x?3在(??,??)上单调递减，则k的取值范围是（ D ）

A.k>0 B.k<0 C.k>-1 D.k<-1

（4）．下列说法中正确的有( C )．

[来源学科网Z,X,X,K]

①若x1，x2∈I，当x1

③函数y＝－1

[来源:Zxxk.Com]x在定义域上是增函数；

④y＝1

x

的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．

（二）课堂探究

例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

例2 物理学中的玻意耳定律P=

kV（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。

例3．.求证：函数f?x??x?1x，在区间?0,1?上是减函数

例4求函数f(x)?18?2x?x2的单调区间

三、当堂检测

1、函数y??x2的单调增区间为 （ ）

A.(??,0] B.[0,??) C.(??,??) D.(?1,??)

2、函数f(x)?2x2?mx?3，当x?[?2,??)时是增函数，当x?(??,?2]时是减函数，则f(1)等A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数

3、若函数f(x)?k?xx在(??,0)上是减函数，则k的取值范围是 （ ）

A.k?0 B.k?0 C.k?0 D.k?0[来源:Z&xx&k.Com]

4.函数y=|x|-1的单调减区间为( )

A.(-∞,0) B.(-∞,-1) C.(0,+∞) D.(-1,+∞)

（四）、回顾总结

1.：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1

2、增函数：?x(x2)1x2?I,x1,?x2则f(x1)?f(x2)或(x1?x2)(f(x1?f(x2))?0或f(x1)?fx?01?x2减函数：?x1x2?I,x1,?x2则f(x1)?f(xf(x1)?f(x2)2)或(x1?x2)(f(x1?f(x2))?0或x?0

1?x2五、提升练习（选做）

1．若函数f(x)?ax?1x?2(a为常数)，在(?2,2)内为增函数，则实数a的取值范围（ A ） A．(12,??) B．[12,??) C．(??,12) D．(??,12]

2、已知函数y?8x2?ax?5在[1,??)上递增，那么a的取值范围是___.科.网]6 3．函数f(x)＝－x2＋6x＋7的单调增区间为( )

A．(－∞，3] B．[3，＋∞) C．[－1,3]

D．[3,7]

4．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0

结论：

①f(xf(x1)＋f(x2)2)－f(x1)>x2－x1； ②x2f(x1)>x1f(x2)； ③

2

?.

其中正确结论的序号是_______．(把所有正确结论的序号都填上)

六、高考链接

1（2013上海．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )

A．y＝1－x2 B．y＝x2＋x C．y＝－－x D．y＝x

x－1

2、（2012北京）．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为_______

七、课后自助餐（延伸拓展）（选做）

1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ）

A.y??3x?1 B. y?3x C.y?x2?4x?3 D.y?4x 2、.如果函数f(x)?x2?ax?3在区间(??,4]上单调递减，则实数a满足的条件是 ( )

A．(8，＋∞) B．[8, ＋∞)

C．(∞,8)

D．(∞,8]

3．函数y＝x2＋2x－3的单调递减区间为( )

A．(－∞，－3] B．(－∞，－1] C．[1，＋∞) D．[－3，－1]

4．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f?a?－f?b?

a－b

>0，则必有( A．函数f(x)先增后减 B．函数f(x)先减后增 C．函数f(x)是R上的增函数 D．函数f(x)是R上的减函数

5．函数f(x)＝－2x2＋mx＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m的取值范围是_____ 6．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数y＝f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )．

A．必是增函数 B．必是减函数 C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性八：课后总结． 1.本节知识 2.我存在的问题

§1.3.1函数的单调性与最大（小）值

第二课时函数的最大（小）值

一．学习目标

（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

二、学习重点、难点

重点：函数的最大（小）值及其几何意义． 难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．

三、学习程序 （一）、课前预习部分

1、自学课本第 30 页至第 32 页（学习掌握情况分别做上标记） 2、知识清单

（ 1）．函数最大（小）值定义

最大值：一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的x?I，都有 ； ②存在x0?I，使得 ．

那么，称M是函数y?f(x)的最大值．

最小值：一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ③对于任意的x?I，都有 ；

④存在x0?I，使得 ．那么，称M是函数y?f(x)的最小值．

(2)若函数在区间上是单调递增的，则函数的最大值是 ；最小值是 .

(3)若函数在区间上是单调递减的，在区间上是单调递增的，则函数在区间

上的最小值是 ；最大值是 .

3、预习检测

(1)指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？

（1）f(x)??2x?3 （2）f(x)??2x?3

x?[?1,2]

（3）f(x)?x2?2x?1

（4）f(x)?x2?2x?1 x?[?2,2]

4、课堂探究

例1：求下列函数值域

（1）求函数f(x)??3x2?6x?1,x???1,1? 最大值和最小值

（2）求关于x的二次函数y?x2?2tx?1,x???1,1?上最大值（t为常数）

例2：求下列函数值域

（1）求f(x)?x?2x?1值域 （2）求y?x2x?1值域

例3：求函数f(x)?xx?1在[2，5]上的最大值和最小值

（三）、当堂检测

1.函数y=x+错误！未找到引用源。的值域是( )

A.[0,+∞) B.[2,+∞) C.[4,+∞) D.[错误！未找到引用源。,+∞)

2.如果函数y=x2+a在区间(-∞,-2]上有最小值10,则a=( ) A.10 B.2 C.6 D.无法确定 3求下列函数值域

（1）当y?x2?2x?3,x???2,2?最大值和最小值

（2）求y??12x2?4x?1,x???2,3?最大值和最小值

（3）求y?2x2?1x2?1最值

（四）、回顾总结

1、最值

○

1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M； ○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法

○

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值 ○

3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值④利用换元法求最值 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

五、提升练习（选做）

1．函数f(x)＝

11－x?1－x?

的最大值是( )． A.4534

5 B.4 C.4 D.3

2．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是______．

3.当t?x?t?1时求y?1252x?x?2的最小值（t是常数） 六、高考链接

1.已知函数f(x)?x2?2x?3在区间?0,m?上最大值是3，最小值是2，则m范围

2..已知函数y=x2+4x+c,则f(1),f(2),c三者之间的大小关系

七、课后自助餐（延伸拓展）（选做）

1．1.函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是

[来源学。科。网] A．f(－2)，0 B．0,2 C．f(－2)，2 D．f(2)，2 2．函数y＝1?1?

x2在区间??2，2??上的最大值是( )．

A.1

4 B．－1 C．4 D．－4

3．若函数y＝k

x(k>0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为_______．

4．将进货单价40元的商品按50元一个售出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1元，其销售量减少10个，为了赚到最大利润，售价应定为多少？

八：课后总结

1、 本节知识 2.我存在的问题