2012练习册一解答

太原理工大学《线性代数》练习册（一）

一. 判断题（正确打√，错误打×）

1. n阶行列式aij的展开式中含有a11的项数为n?1.( × ) 正确答案：(n?1)!

解答：方法1因为含有a11的项的一般形式是a11a2j?anj2n，

其中j2j3?jn是n?1级全排列的全体，所以共有(n?1)!项. 方法2 由行列式展开定理

a11

a12?a1na22?a2n???an2?ann?a11A11?a12A12???a1nA1n，

a21?an1 而a12A12???a1nA1n中不再含有a11，而A11共有(n?1)!项，所以含有a11的

项数是(n?1)!.

注意：含有任何元素aij的项数都是(n?1)!.

2. 若n阶行列式aij中每行元素之和均为零，则aij等于零.( √ )

a11 解答：将

a12?a1na22?a2n???a21?中的2、3、?、n列都加到第一列，则行

an1an2?ann列式中有一列元素全为零，所以aij等于零.

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a10a2b300b2a30b100a4?a1b4b1a2a4b3b2a33.

00b4.( √ )

解答：方法1按第一列展开

a100a2b300b2a30b100a4?(a1a4?b1b4)a1b4b1a4?a1b4b1a2a4b3b2a3?a1a4a2b3b2a3?b1b4a2b3b2a3

0b4.

方法2 交换2，4列，再交换2，4行

a10a2b300b2a30b100a4??a100b4b100a40b2a300a2b30?a1b400b1a40000a3b200b3a200b4

=

a1b4b1a2a4b3b2a3.

方法3 Laplace展开定理：设在n行列式D中任意取定了

k(1?k?n?1)个行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的

代数余子式的乘积之和等于行列式D。 所以按2，3行展开

a10a2b300b2a30b100a4?(?1)2?3?2?300b4

a1b4b1a2a4b3b2a3=

a1b4b1a2a4b3b2a3.

4. 若n阶行列式aij满足aij?Aij,i，j?1,2,?，n,则aij?0.(√)

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解答：由行列式展开定理

a11

a12?a1na22?a2n???

a21?an1an2?ann ?a11A11?a12A12???a1nA1n

222?a12???a1 ?a11n?0.

5. 若n阶行列式aij的展开式中每一项都不为零,则aij?0.( × ) 解答：反例如二. 单项选择题

11411x21224?0.

1. 方程

1?2211?884x?0的根为（B）.

x3（A）1,2,3； （B）1,2,?2； （C）0,1,2； （D）1,?1,2. 解答：（范德蒙行列式）

114141xx2x3?(?2?1)(2?1)(2?2)(x?1)(x?2)(x?2)?0，

1?2211?88

所以根为1,2,?2.

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太原理工大学《线性代数》练习册（一）

a11a31a12a32a13a332a112a31a13a33a11?a12a31?a322. 已知a21a22a23?a,那么2a21a23a21?a22?（D）. （A）a； （B）?a； (C)2a； （D）?2a.

2a112a31a13a33a11?a12a31?a32a11a31a13a33a12a32解答： 2a21a23a21?a22?2a21a23a22?-2a。

??x?y?z?0?3. 已知齐次线性方程组??x?3y?z?0仅有零解，则（A）.

??y??z?0?（A）??0且??1；（B）??0或??1；（C）??0；（D）??1.

??x?y?z?0?解答：因为??x?3y?z?0仅有零解，

??y??z?0?? 所以?013-11?012-11-2??（2?-2）?0，

-1?0?? 所以??0且??1.

4.下列行列式中不一定等于?1?2??n的是（B）.

?1a12?a1n0?2?a2n???00???n0???an20?1a2n?（A）； （B）

0??2?；

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