九年级数学中考专题系列-方案设计专题复习全国通用

方案设计专题复习

课程标准要求“人人学有价值的数学”．根据这一理念，中考命题者精心编拟了一类中考题—“方案设计型”试题．

“方案设计型”试题是指通过阅读、观察、探索等方法，从题目提供的相关材料中发现有用的解题信息，并综合运用所学知识加以分析、计算、比较和判断，在题目所提供的或隐含的多种方案中得到最优方案的一种试题．

这种试题的特点是：解决问题的方案不是惟一的，具有多样性和选择性，因而又具有开放型试题的特点．“方案设计型”试题有时会给出设计要求，让考生自己设计方案；有时需要学生通过阅读、观察、归纳、探索和比较等手段寻找解决实际问题的方法，得出最佳方案．这种试题命题的背景广泛，考生自由施展才华的空间大，是近年来中考试题的一个新的亮点，而且所占试题的比分比较多．

一、利用概率知识进行方案设计

【例1】小明与小华在玩一个掷飞镖游戏，如图甲是一个把两个同心圆平均分成8份的靶，当飞镖掷中阴影部分时，小明胜，否则小华胜（没有掷中靶或掷到边界线时重掷）． （1）不考虑其他因素，你认为这个游戏公平吗？说明理由． （2）请你在图乙中，设计一个不同于图甲的方案，使游戏双方公平．

图甲

【解析】（1）这个游戏公平．

根据图甲的对称性，阴影部分的面积等于圆面积的一半，

图乙

?这个游戏公平．

（2）把图乙中的同心圆平均分成偶数等分，再把其中的一半作为阴影部分即可．（图略）

【点悟】此题注意到了选题的趣味性，联系学生生活实际，易于引起学生的解题兴趣，使学生体会数学与现实的联系．这类题目根据阴影部分面积在圆中所占的百分比来确定概率从而作出合理的判断．

【例2】某公司现有甲、乙两种品牌的计算器，甲品牌计算器有A，B，C三种不同的型号，乙品牌计算器有D，E两种不同的型号，新华中学要从甲、乙两种品牌的计算器中各选购一种型号的计算器． （1）写出所有的选购方案（利用树状图或列表方法表示）；

（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号计算器被选中的概率是多少？ （3）现知新华中学购买甲、乙两种品牌计算器共40个（价格如图所示），恰好用了1000元人民币，其中甲品牌计算器为A型号计算器，求购买的A型号计算器有多少个？

【解析】（1）树状图表示如下：

列表表示如下：

，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)． 有6种可能结果：(A??公司 计算器单价 （单位：元） A型：60 B型：40 C型：25 D型：50 E型：20 甲品牌

A B

C

乙品牌

D

E D

E D

E

甲 A 乙 B C D E (D，A) (D，B) (D，C) (E，A) (E，B) (E，C) 说明：此题答案不惟一，也可用其它方式表达选购方案．

(A，E)，所以A型号计算器被选中的概率是（2）因为选中A型号计算器有2种方案，即(A，D)，21?． 63（3）由（2）可知，当选用方案(A，D)时，设购买A型号，D型号计算器分别为x，y个， ?x?y?40，?x??100，根据题意，得?解得?

60x?50y?1000.y?140.??经检验不符合题意，舍去；

当选用方案(A，E)时，设购买A型号、E型号计算器分别为x，y个， ?x?y?40，?x?5，根据题意，得?解得?

60x?20y?1000.y?35.??所以新华中学购买了5个A型号计算器．

【点悟】本题注意到了选题的现实性，以计算器的选用为命题背景，对大多数学生来说都是熟悉的，因而试题公平性得以保证．这类题目往往通过树状图或列表法来计算可能的选用方案，进而求出A型计算器被选中的概率．第（3）小问较好地综合了方程组的知识，而且要求学生有分类讨论意识，并根据应用问题的实际进行方程组解的取舍．

二、利用不等式进行方案设计

【例3】我市某生态果园今年收获了15吨李子和8吨桃子，要租用甲、乙两种货车共6辆，及时运往外地，甲种货车可装李子4吨和桃子1吨，乙种货车可装李子1吨和桃子3吨． （1）共有几种租车方案？

（2）若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货车每辆需付运费700元，请选出最佳方案，此方案运费是多少．

【解析】（1）设安排甲种货车x辆，乙种货车(6?x)辆，

根据题意，得：??4x?(6?x)≥15?x≥3 ?3≤x≤5 ??x?3(6?x)≥8x≤5?? x取整数有：3，4，5，共有三种方案．

（2）租车方案及其运费计算如下表．（说明：不列表，用其他形式也可）

方案 一 二 三 甲种车 3 4 5 乙种车 3 2 1 运费（元） 1000?3?700?3?5100 1000?4?700?2?5400 1000?5?700?1?5700 答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元．

【点悟】本题以农村运输水果发展经济的问题为背景，具有现实意义．不同运送方法会产生不同的经费开支，方案选择正确可大大节约开支，对快速发展经济很有帮助．这样的考题可以不断提高同学们的应用意识和实践能力．近年来许多考题都取自学生熟悉的生活环境，这样的题目背景自然真实、内容丰富、情境多样，充分体现时代气息，给数学知识及数学教学赋予生机与活力．因此，设置这样的处理现实问题

的考题对培养同学们的应用意识和分析、解决问题的能力很有帮助，值得提倡．

【例4】随着大陆惠及台胞政策措施的落实，台湾水果进入了大陆市场．一水果经销商购进了A，B两种台湾水果各10箱，分配给他的甲、乙两个零售店（分别简称甲店、乙店）销售．预计每箱水果的盈利情况如下表：

甲店 乙店 有两种配货方案（整箱配货）：

方案一：甲、乙两店各配货10箱，其中A种水果两店各5箱，B种水果两店各5箱；

方案二：按照甲、乙两店盈利相同配货，其中A种水果甲店 箱，乙店 箱；B种水果甲店 箱，乙店 箱．

（1）如果按照方案一配货，请你计算出经销商能盈利多少元；

（2）请你将方案二填写完整（只填写一种情况即可），并根据你填写的方案二与方案一作比较，哪种方案盈利较多？

（3）在甲、乙两店各配货10箱，且保证乙店盈利不小于100元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利为多少？

【解析】（1）按照方案一配货，经销商盈利：

A种水果/箱 11元 9元 B种水果/箱 17元 13元 5?11?5?9?5?17?5?13?250（元）

（2）只要求学生填写一种情况．

第一种情况：2，8，6，4；第二种情况5，5，4，6；第三种情况：8，2，2，8． 按第一种情况计算：(2?11?17?6)?2?248（元）； 按第二种情况计算：(5?11?4?17)?2?246（元）； 按第三种情况计算：(8?11?2?17)?2?244（元）． 方案一比方案二盈利较多．

（3）设甲店配A种水果x箱．则甲店配B种水果(10?x)箱， 乙店配A种水果(10?x)箱，乙店配B种水果10?(10?x)?x箱．

9?(10?x)?13x≥100，