高等数学下学期复习资料第七章

3. 平面与直线的关系：

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角. 4. 通过空间直线可以作无穷多个平面，所有这些平面的集合称为过直线Ｌ的平面束．

?A1x?B1y?C1z?D1?0, 设Ｌ为两平面П１和П２的交线，其方程为?过直线Ｌ的平面

Ax?By?Cz?D?0.222?2束方程为(A1x?B1y?C1z?D1)??(A2x?B2y?C2z?D2)?0.

例11 已知空间两点M1(1,2,?1), M2(3,?1,2)，求过M1点且与直线M1M2垂直的平面方程．( 2x?3y?3z?7?0．)

x?4y?3z??的平面的方程. 521?x?2y?4z?7?0,例13求过点(2,0,?3)且与直线?垂直平面方程。

?3x?5y?2z?1?0例12 过点(3,1,?2)且通过直线

练习 一平面通过两点M1(1,1,1)和M2(0,1,?1)且垂直于平面x?y?z?0，求它的方程．

第八章 空间解析几何与向量代数

二、向量及其线性运算 2. 空间直角坐标系

（1） 三条坐标轴，三个坐标面, 八个卦限，

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（2）点的坐标：空间的点M和有序数组x,y,z之间存在一一对应关系，记为M（x, y, z） （3）M1(x1,y1,z1) , M2(x2,y2,z2)间的距离|M1M2|= (x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.

2. 向量的概念，

（1）向量的模（向量的长度，向量大小）；零向量.单位向量；这两个向量相等.

（2）；向量的数乘；

定理1 设向量a≠0, 那末，向量a与b平行（记作a‖b）的充分必要条件是：存在唯一常数λ使得b =λa.

二、向量数量积

2. 向量a, b的数量积a?b=∣a∣?∣b∣cos(a,b)，也称为“点积”或“内积”.

（1）a·a=∣a∣ .

（2）对于两个非零向量a、b, a⊥b 的充分必要条件是a·b=0.

（3）数量积还符合交换律、分配律. 2. 向量数量积的坐标表达：a·b=axbx+ayby+azbz 2

???例1 设a??3,5,?2?，b??2,1,4?，当?，?满足2???时，?a??b与oz轴垂直？ 例2已知a?{1,2,1}和b?{1,0,c}的夹角为?/3，求c。

3. 向量b在向量a上的投影向量，记作projab； 数值bcosθ也称为b在a方向上的投影，记作compab. compab=∣b∣cos(a,b)=b?a?ba?b==ea?b, projab= （compab）·ea. aba例3 设a={2,0,-1},b={1,2,4},求b在a上的投影向量和投影.

projab=compab·ea=

三、向量的向量积

1.向量a, b的向量积是一个向量，记为a×b,

∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin(a,b), (等于以a,b为邻边的平行四边形面积)

??2142?{2,0,?1}?{?,0,}.

5555a×b同时垂直于a与b，并且a，b， a×b符合右手法则.

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2.力矩M等于r与F的向量积，即M=r×F. 3. 向量积的性质：

（1）a×a=0. 这是因为向量a与a的夹角为零.

(2)对两个非零向量a、b，a×b=0的充分必要条件是a‖b. (3) b×a= -a×b.

i4. 向量积的坐标表达式: a×b=axjaybykaz. bzbx例4 设a={2,0,-1},b={1,2,4},求a×b.

练习 已知空间三点P(1,1,?1)，Q(2,4,5)，R(3,1,7)，求一向量，使它垂直于过

P,Q,R三点的平面，并求三角形PQR的面积．

四、平面及其方程 2. 点法式方程：

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，平面过M0(x0,y0,z0)，法向量n??A,B,C?，

2.一般式方程: Ax?By?Cz?D?0, 3.截距式方程:

xyz???1， abc 4. 点P0(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222

例5 求过点(?1,3,?8)且与平面3x?4y?6z?9?0平行的平面方程．

例6 一平面过点(1,0,?1)且平行于向量a?{2,1,1}和b?{1,?1,0}, 试求这平面的方程． 例7 求平行于z轴，且过点M1(1,0,1)和M2(2,?1,1)的平面方程． 练习 分别按下列条件求平面方程：

(1)平行于xOz面且经过点(?2,?1,3)； (2) 经过原点及点P0(1,?3,2)，且与平面

4x?y?2z?8垂直，(3) 通过z轴和点(?3,1,2)

五、空间直线及其方程 1 .对称式方程:

x?x0y?y0z?z0,直线过点M0(x0,y0,z0),{m,n,p}为方向向??mnp量，也称为点向式方程.

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?x?x0?mt,?2.参数式方程: ?y?y0?nt,

?z?z?pt.0?3.一般式方程: ?

?A1x?B1y?C1z?D1?0, (直线看作是两个相交平面的交线)

?A2x?B2y?C2z?D2?0.例8 求过M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)两点的直线方程．

例9 求过点(0,2,4)且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程．

?x?1?t?例10 求过点(0,1,2)且与直线?y?1?t垂直相交的直线方程.

?z?2t?练习 化直线L的一般式方程?

六、直线 平面之间的关系

2. 平面间的关系：П１：A1x?B1y?C1z?D1?0，П２：A2x?B2y?C2z?D2?0．

平面的夹角为?，cos??cos(n1,n2)???x?2y?z?1?0,为对称式和参数式方程．

?2x?y?z?3?0n1?n2n1?n2

П１、П２ 相互垂直的充分必要条件是n1?n2，即A1A2?B1B2?C1C2?0． П１、П２ 相互平行的充分必要条件是n1//n2，即

A1B1C1 ??A2B2C2?2. 直线间的关系：设s1,s2分别是直线Ｌ１，Ｌ２的方向向量， ??(s1,s2)．

两直线L１、L２ 相互垂直的充分必要条件是s1?s2， 两直线L１、L２ 相互平行的充分必要条件是s1//s2．

3. 平面与直线的关系：

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角. 4. 通过空间直线可以作无穷多个平面，所有这些平面的集合称为过直线Ｌ的平面束．

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