当前位置：首页 > 高等数学下学期复习资料第七章
例10．方程y???9y?0的一条积分曲线通过点(?,?1)，且在该点和直线y?1?x??相切，求这条曲线.
练习 求微分方程y''?4y'?3y?0满足初始条件y(0)?6,y'(0)?10特解．
2. 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法：ay???by??cy?f(x) （1）f(x)?Pn(x)e?x 型：
方程具有如下形式的特解： yp?xkQn(x)e?x?xk(B0xn?B1xn?1???Bn?1x?Bn)e?x 其中，Qn(x)是与Pn(x)同次（n次）的待定多项式，而k的取值，按?不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根，依次取0，1或2. 例11求y???3y??2y?5, y(0)?1, y?(0)?2的特解
例12求微分方程2y???y??y?2ex通解.
练习 求微分方程y???y?e的通解。
x 5
第八章 空间解析几何与向量代数
一、向量及其线性运算 1. 空间直角坐标系
（1） 三条坐标轴，三个坐标面, 八个卦限，
（2）点的坐标：空间的点M和有序数组x,y,z之间存在一一对应关系，记为M（x, y, z） （3）M1(x1,y1,z1) , M2(x2,y2,z2)间的距离|M1M2|= (x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2.
2. 向量的概念，
（1）向量的模（向量的长度，向量大小）；零向量.单位向量；这两个向量相等.
（2）；向量的数乘；
定理1 设向量a≠0, 那末，向量a与b平行（记作a‖b）的充分必要条件是：存在唯一常数λ使得b =λa.
二、向量数量积
1. 向量a, b的数量积a?b=∣a∣?∣b∣cos(a,b)，也称为“点积”或“内积”.
（1）a·a=∣a∣ .
（2）对于两个非零向量a、b, a⊥b 的充分必要条件是a·b=0.
（3）数量积还符合交换律、分配律. 2. 向量数量积的坐标表达：a·b=axbx+ayby+azbz 2
???例1 设a??3,5,?2?，b??2,1,4?，当?，?满足2???时，?a??b与oz轴垂直？ 例2已知a?{1,2,1}和b?{1,0,c}的夹角为?/3，求c。
3. 向量b在向量a上的投影向量，记作projab； 数值bcosθ也称为b在a方向上的投影，记作compab. compab=∣b∣cos(a,b)=b?a?ba?b==ea?b, projab= （compab）·ea. aba例3 设a={2,0,-1},b={1,2,4},求b在a上的投影向量和投影.
projab=compab·ea=
?2142?{2,0,?1}?{?,0,}.
5555 6
三、向量的向量积
1.向量a, b的向量积是一个向量，记为a×b,
∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin(a,b), (等于以a,b为邻边的平行四边形面积)
?a×b同时垂直于a与b，并且a，b， a×b符合右手法则.
2.力矩M等于r与F的向量积，即M=r×F. 3. 向量积的性质：
（1）a×a=0. 这是因为向量a与a的夹角为零.
(2)对两个非零向量a、b，a×b=0的充分必要条件是a‖b. (3) b×a= -a×b.
i4. 向量积的坐标表达式: a×b=axjaybykaz. bzbx例4 设a={2,0,-1},b={1,2,4},求a×b.
练习 已知空间三点P(1,1,?1)，Q(2,4,5)，R(3,1,7)，求一向量，使它垂直于过
P,Q,R三点的平面，并求三角形PQR的面积．
四、平面及其方程 1. 点法式方程：
A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0，平面过M0(x0,y0,z0)，法向量n??A,B,C?，
2.一般式方程: Ax?By?Cz?D?0, 3.截距式方程:
xyz???1， abc 4. 点P0(x0,y0,z0)到平面Ax?By?Cz?D?0的距离d?Ax0?By0?Cz0?DA?B?C222
例5 求过点(?1,3,?8)且与平面3x?4y?6z?9?0平行的平面方程．
例6 一平面过点(1,0,?1)且平行于向量a?{2,1,1}和b?{1,?1,0}, 试求这平面的方程． 例7 求平行于z轴，且过点M1(1,0,1)和M2(2,?1,1)的平面方程． 练习 分别按下列条件求平面方程：
(1)平行于xOz面且经过点(?2,?1,3)； (2) 经过原点及点P0(1,?3,2)，且与平面
4x?y?2z?8垂直，(3) 通过z轴和点(?3,1,2)
7
五、空间直线及其方程 1 .对称式方程:
x?x0y?y0z?z0,直线过点M0(x0,y0,z0),{m,n,p}为方向向??mnp量，也称为点向式方程.
?x?x0?mt,?2.参数式方程: ?y?y0?nt,
?z?z?pt.0??A1x?B1y?C1z?D1?0, 3.一般式方程: ?(直线看作是两个相交平面的交线)
Ax?By?Cz?D?0.222?2
例8 求过M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)两点的直线方程．
例9 求过点(0,2,4)且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行的直线方程．
?x?1?t?例10 求过点(0,1,2)且与直线?y?1?t垂直相交的直线方程.
?z?2t??x?2y?z?1?0,练习 化直线L的一般式方程?为对称式和参数式方程．
2x?y?z?3?0?
六、直线 平面之间的关系
1. 平面间的关系：П１：A1x?B1y?C1z?D1?0，П２：A2x?B2y?C2z?D2?0．
平面的夹角为?，cos??cos(n1,n2)??n1?n2n1?n2
П１、П２ 相互垂直的充分必要条件是n1?n2，即A1A2?B1B2?C1C2?0． П１、П２ 相互平行的充分必要条件是n1//n2，即
A1B1C1 ??A2B2C2?2. 直线间的关系：设s1,s2分别是直线Ｌ１，Ｌ２的方向向量， ??(s1,s2)．
两直线L１、L２ 相互垂直的充分必要条件是s1?s2， 两直线L１、L２ 相互平行的充分必要条件是s1//s2．
8
本文作者：...共分享92篇相关文档
