2016-2017学年高中数学选修4-4学案（11份） 人教课标版4（新教案）

章末分层突破

[自我校对] ①极坐标系

②直线的极坐标系方程 ③圆的极坐标系方程 ④柱坐标系 ⑤球坐标系

平面直角坐标系下图形的变换 平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现，在使用坐标变换公式(\\\\(′＝λ?λ>?′＝μ?μ>?))时，一定要分清变换前后的新旧坐标．

在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：(\\\\(′＝，′＝－，))求曲

线＝经过φ变换后所得直线′的方程．

【规范解答】设′(′，′)是直线′上任意一点． 由

伸

缩

变

换

φ

：

(\\\\(′＝，′＝－，))

得

(\\\\(＝(′)，＝－()′，))

代入＝，得′＝′， ∴即′＝′，

因此变换后曲线的方程为′＝′. [再练一题]

．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换(\\\\(′＝，′＝))后，曲线变为曲线(′－)＋(′＋)＝，求曲线的方程，并判断其形状．

【解】将(\\\\(′＝，′＝，))代入(′－)＋(′＋)＝中，得(－)＋(＋)＝，化简，得

＋(＋)＝，

故曲线是以为圆心，半径为的圆.

求曲线的极坐标方程 求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式(ρ，θ)＝表示出来，就得到曲线的极坐标方程．

求圆心为，半径为的圆的极坐标方程．

【规范解答】如图，设圆上任一点为(ρ，θ)，则＝ρ，∠＝，＝×＝. 在△中， ＝∠， 则ρ＝，

即圆的极坐标方程为 ρ＝. [再练一题]

．△底边＝，∠＝∠，以为极点，为极轴，求顶点的轨迹的极坐标方程． 【解】如图：令(ρ，θ)， △内，设∠＝θ，∠＝，

又＝，＝ρ.于是由正弦定理，得＝， 化简，得点轨迹的极坐标方程为ρ＝＋ θ.

极坐标与直角坐标的互化 极坐标系和直角坐标系是两种不同的坐标系．同一个点可以有极坐标，也可以有直角坐标；同一条曲线可以有极坐标方程，也可以有直角坐标方程．为了研究问题的方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程．它们之间的互化关系为：＝ρθ，＝ρθ；ρ＝＋， θ＝(≠)．

⊙和⊙的极坐标方程分别为ρ＝ θ， ρ＝－ θ.

()把⊙和⊙的极坐标方程化为直角坐标方程； ()求经过⊙，⊙交点的直线的直角坐标方程．

【解】以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

()由ρ＝ θ，

得ρ＝ρθ，所以＋＝，

即＋－＝为⊙的直角坐标方程， 同理＋＋＝为⊙的直角坐标方程． ()由(\\\\(＋－＝，＋＋＝，)) 解得(\\\\(＝，＝，))(\\\\(＝，＝－.)) 即⊙，⊙交于点()和(，－)，

故过交点的直线的直角坐标方程为＝－. [再练一题]

．(·江苏高考)已知圆的极坐标方程为ρ＋ρ－＝，求圆的半径.

【导学号：】

【解】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系.

圆的极坐标方程为 ρ＋ρθ－(()) θ))

－＝，

化简，得ρ＋ρθ－ρθ－＝.

则圆的直角坐标方程为＋－＋－＝，即(－)＋(＋)＝， 所以圆的半径为.

转化与化归思想 转化与化归思想，是运用数学知识的迁移解决问题．具体表现为化未知为已知，化抽象为具体，化一般为特殊．如本章中直角坐标与极坐标，直角坐标方程与极坐标方程，都是这种思想的体现．当ρ≥≤θ<π时，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化就是等价转化．

已知极坐标方程：ρ＝， ：ρ＝，

()化、的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状； ()求、交点间的距离．

【规范解答】()由：ρ＝，得ρ＝， ∴＋＝，所以为圆心在()，半径等于的圆． 由：ρ＝， 得ρθ－(()) θ))

＝，

∴－＝，即－＋＝，所以表示直线． ()由于圆心()到直线－＋＝的距离为 ＝＝<＝，

所以直线被圆截得的弦长 ＝＝＝. [再练一题]

．在极坐标系中，点坐标是，曲线的方程为ρ＝；以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线经过点和极点．

()写出直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程； ()直线和曲线相交于两点、，求线段的长． 【解】()∵直线过点和极点， ∴直线的直角坐标方程是θ＝(ρ∈)． ρ＝即ρ＝( θ＋ θ)，

两边同乘以ρ得ρ＝(ρθ＋ρθ)， ∴曲线的直角坐标方程为＋－－＝. ()点的直角坐标为(，)，直线过点和原点， ∴直线的直角坐标方程为＝.