竞赛试题选编之数列

竞赛试题选编之数列 一．选择题

（2003年高中数学联赛）删去正整数数列1,2,3,??中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是

(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049

(2000年全国高中数学联赛)给定正数p,q,a,b,c，其中p?q，若p,a,q是等比数

2

列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx?2ax+c=0( )

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,?的第1000项是B （A）42 设函数f(x)=

2（B）45 （C）48

n?12 （D）51

x?x?nx?x?12，（x∈R且x≠

，n∈N）的最小值为an，最大

值为bn，记Cn=（1 - an）（1 - bn），则数列{Cn}是（ ） A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列

C.常数数列 D.不是等差数列，也不是等比数列 等比数列{an}中，q为公比，(0＜|q|＜1)，Sn为前n项和，S＝limn??Sn，则下

列命题中正确的是

nn

A.Sn＝S(1－q) B.an＝S(1－q) C.an单调减少趋于零D.Sn单调减少趋于S

用Sn与an分别表示区间?0,1?内不含数字9的n位小数的和与个数．则lim的值为D （A）

34anSnn?? （B）

54 （C）

74 （D）

94

22非常数数列{ai}满足ai?1?aiai?1?ai?0，且ai?1?ai?1，i=0,1,2,?,n．对

n?1于给定的自然数n，a1=an+1=1，则?ai等于D

i?0（A）2 （B）?1 （C）1 （D）0

一批花盆堆成六角垛，顶层一个，以下各层都排成正六边形，逐层每边增一个花盆，设底层外圈每边是18个花盆，则花盆总数是（ ）个。 （A）5832 （B）4913 （C）4096 （D）3375 从1，2，3，?,n中去掉一个数，余下各数的算术平均数为5数是（ ）

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13，则去掉的

（A）7 （B）9 （C）11 （D）13 从?1,2,3,4,???,20?中任选3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列最多有（ ）对

A、90 B、180 C、200 D、120

在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1，再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，?．则在这个红色子数列中，由1开始的第2003个数是B （A）3844

（B）3943

（C）3945

（D）4006

n设递增正数列a1，a2，?，an是分母为60的最简真分数，则?cosi?1aiπ＝

A.0 B.8 C.16 D.30

满足(an－1)(an＋1＋1)＝0(n＝1，2，3，??，99)的数列共有

100

A.1个 B.3个 C.2个 D.无穷多个

已知0?a?b?c?d为偶数，d?a?90，a,b,c成等差数列，b,c,d成等比数列，则a?b?c?d?()

A．384 B．324 C．284 D．194 二．填空题

（2004年高中数学联赛）已知数列a0,a1,a2,...,an,...,满足关系式

n(3?an?1)(6?an)?18,且a0?3，则?i?o1ai的值是____。

（2003年高中数学联赛）设Mn={(十进制)n位纯小数0.a1a2?an|ai只取0或1(i=1,2,?,n?1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limSnTnn??=_______.

2

n-1

2

设a1＝1，an+1＝2an＋n，则通项公式an＝ ．7×2－n－2n－3； 设P、Q∈N，且1≤P

pq的全

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在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n（n为自然数）的所有“优选”数码的个数之和

n?1n?11?108142??． 为 ．????2?9763??(2000年全国高中数学联赛)等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是___.

数列1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,1,2,?前1997项之和是_____

有一函数f(n)(n?N*),n=1时，f(n?1)?f(n)?3；当n为偶数时，

f(n?1)?f(n)?3；nf(n)?_________

为奇数时，f(n?1)?f(n)??1。则

等比数列?an?中，a1?m,a2?n,且|m|?|n|,

?1?111??＝＿＿＿。 ?????lim则ann???aaa2a3anan?1?an?1?12?有一群热带鱼，每周死去2条，余下的经繁殖长恰为剩下的鱼的数量的2倍，设最初有6条鱼，则第n周后有热带鱼＿＿条。 数列?an?满足an?(n?1)an?12n(n?2)，且a1?23,则通项an?＿

n已知数列?an?的通项an?2?1,在a1,a2,?,a100中，先划去a1，然后每隔

两项划去一项，则剩下的各项之和为＿＿＿。

设数列a1,a2,?,an,?满足a1?a2?1,a3?2，且对任何自然数n, 都有

anan+1an+2?1，又anan+1an+2an+3?an+an+1+an+2+an+3，则a1+a2+?+a100的值是

111设x,y,z是实数，3x,4y,5z成等比数列，且,,成等差数列，则x?z的

xyzzx值是 。

从盛满a升（a＞1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去．则第n次操作后溶液的浓度是 ． 给定递推数列??x1?x2?1?xn?2?ax1998n?1?bxn(n?1)，若T＝1998是使得xT＋1＝xT＋2＝1

的最小正整数，则?i?1xi＝___________.

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1?11?2?11?2?3???11?2?3???2004= ．40082005；

给定数列{xn}，x1=1，且xn?1?3xn?13?xn，则x1999?x601= ．0；

等差数列{an}的首项a1=8，且存在惟一的k使得点(k,ak)在圆x2+y2=102上，则这样的等差数列共有 17；

数列{an}的通项公式为an= n2 +λn ( n∈N)。若{an}为单增数列，则实数λ的取值范围是

银行计划将某项资金的40%给项目M投资一年，其余的60%给项目N．预计项目M有可能获得19%到24%的年利润，N有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是 ．10%；

若函数f(x)是定义在(0,??)上的增函数，且当n?N?时，f(n)?N?，

f[f(n)]?3n，则f(1)?f(2)＝_________.

若自然数n与k之间的函数关系k＝f(n)由等式2(1＋9＋92＋?＋9n－1)＝k(k＋1)确定，则f(n)的表达式为_____________ 三．解答题

无穷数列{cn}可由如下法则定义：cn+1=|1?|1?2cn||，而0≤c1≤1． （1）证明：仅当c1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列．

（2）存在多少个不同的c1值，使得数列自某项之后以T为周期（对于每个T=2,3,?）？

（1）证略．（2）无穷个

?a1?1,a2?2给定由正整数组成的数列?（n≥1）．

a?a?an?1n?n?2（1）求证：数列相邻项组成的无穷个整点(a1,a2)，(a3,a4)，?，(a2k-1,a2k)，?

均在曲线x2+xy?y2+1=0上．

（2）若设f(x)=xn+xn-1?anx?an-1，g(x)=x2?x?1，证明：g(x)整除f(x)．

证略（提示：用数学归纳法）．

设a0＝1，a1＝2，an+1＝2an-1＋n，n＝1,2,3,?．试求出an的表达式（答案用有限个关于n的式子相加的形式表示，且项数与n无关）．

a2n＝2

n+2

－2n－3；a2n+1＝3×2

n+1

－2n－4．

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