帕德逼近

帕德逼近-正文

一种特殊的有理函数逼近，以法国数学家H.帕德的名字命名。它不仅与逼近论中其他许多方法有着密切的关系，而且在实际问题特别是许多物理问题中有着广泛的应用。设

是在原点某邻域内收敛的、具有复系数的马克

劳林级数。欲确定一个有理函数

，式中

,使得

方的系数为0，即使得

此处约定qk＝0（k>n）。虽然所求得的Pm(z)和Qn(z)不惟一，但是比式惟一的。有理函数所形成的阵列

前次

却总是

称为F(z)的(m,n)级帕德逼近,记为【m/n】。由【m/n】

称为帕德表。

不难看出,帕德表中的第1行恰为幂级数F(z)的部分和序列。设

项部分和为

于：按方程组

(z)，则可以证明F(z)的帕德逼近

的前的定义等价

(j=0,1,…,m＋n)，

且Qn(z)扝0来确定

。进而,如果F(z)于原点处m+n次连续可微,则把上式中的

(z)替换成F(z)后，它仍然等价于帕德逼近【m/n】的定义。 称由此而得的方程组

(j=0,1,…,m+n)

为帕德方程组。这种转化使得在计算帕德逼近时不必事先写出F(z)的马克劳林展开式。只要

Qn(0)≠0，则可更进一步证明上述方程组又等价于

(j=0,1,…,m+n)。

这样一来，帕德逼近［m/n］在确定条件下,等价于一个有理函数的重插值问题。 对一切非负整数μ,v，下述条件

称为 的正规化条件。该条件在帕德逼近理论中起着很重要的作用。例如，

当F(z)满足正规化条件时，Pm(z)/Qn(z)对一切m与n而言总是不可约的。 帕德逼近已经有很多计算方法，而且还有多种重要推广。

帕德逼近序列的收敛性问题通常是十分困难而又颇有兴趣的。鉴于帕德逼近表中主对角线上的帕德逼近的数值性质为最好,以下仅列举一个有关的收敛性结果:设α>0,且{nk}是一

个正整数序列。假定

在ΔR={z| |z|0）内全纯并且满足

。则F(z)的帕德逼近序列{【nk/nk】}在每一个紧子集D\\E上一

致收敛于F(z)(k→∞)，此处E是一个α维豪斯多夫零测度集。