高考数学二轮教师用书：层级二 专题五 第1讲 直线与圆 Word版含解析

8．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )

A．0

B．m<1 D．－3

解析：AC [本题主要考查直线与圆的位置关系的判断．圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1,0)，半径为2.因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝

|1＋m|

<2，所以|1＋m|<2，解得－3

1＋1

条件，即求其子集，故由选项易得AC符合．故选AC.]

9．(·合肥质检)已知圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝5与圆C2相交于A(0,2)，B(－1,1)两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为( )

A．(x－1)2＋y2＝5 9B．(x－1)2＋y2＝

211

x－?2＋?y－?2＝5 C.??2??2?119x－?2＋?y－?2＝ D.??2??2?2

解析：A [通解 (常规求解法)设圆C2的圆心坐标为(a，b)，连接AB，C1C2.因为C1(－2,3)，A(0,2)，B(－1,1)，所以|AC1|＝|BC1|＝5，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2⊥AB且|AC2|＝5.

3－b1－2??－2－a×－1－0＝－1，可得???a＋?b－2?＝5，

2

2

???a＝1，?a＝－2，

解得?或?则圆心C2的坐标为(1,0)

b＝0b＝3，????

或(－2,3)(舍去)．

因为圆C2的半径为5，所以圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝5.故选A.

优解 (特值验证法)由题意可知，平行四边形C1AC2B为菱形，则|C2A|＝|C1A|＝22＋?2－3?2＝5，即圆C2的半径为5，排除B，D；将点A(0,2)代入选项A，C，显然选项A符合．故选A.]

10．(·惠州二测)已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)的圆心在直线3x－y

＋3＝0上，且圆C上的点到直线3x＋y＝0的距离的最大值为1＋3，则a2＋b2的值为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：C [化圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)为标准方程得C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，其圆心为(a，b)，故3a－b＋3＝0，即b＝3a＋3，(a，b)到直线3x＋y＝0的|3a＋b||3a＋b||3a＋3a＋3|距离d＝＝＝，因为圆C上的点到直线3x＋y＝0的距离的

22

3＋1最大值为1＋3，故d＋1＝331

|2a＋1|＋1＝1＋3，得到|2a＋1|＝2，解得a＝－或a＝(舍去)，222

3333

－?＋3＝－，故a2＋b2＝?－?2＋?－?2＝3.选C.] 故b＝3×??2??2??2?2

11．(·烟台三模)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是( )

A．[－2,6] C．[2,6] 解析：C [

B．[－3,5] D．[3,5]

当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如图，所以|MC|＝

10?5－1?2＋?t－4?2≤＝20，所以16＋(t－4)2≤20，所以2≤t≤6，故选C.]

sin 45°

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

12．(双空填空题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－

6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为___________________________________________，

圆C被x轴截得的弦长为________．

解析：本题考查圆与圆的位置关系．将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为32.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×?42?2－42＝8.

答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0 8

13．(·哈尔滨二模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为________________．

解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得

??x＝0，

?

22??x＋y－2x－2y－2＝0.

???x＝0，?x＝0，

得? 或?∴|AB|＝23，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直???y＝1－3?y＝1＋3，

线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，|k－1＋3||k＋2||AB|?22

圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋?2?＝r，?22

k＋1k＋1?k＋2?233

∴2＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线

44k＋1l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.

答案：x＝0或3x＋4y－12＝0

14．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a＞0)相交，公共弦的长为22，则a＝________.

22??x＋y＝4，

解析：联立两圆方程?

22??x＋y＋ax＋2ay－9＝0，

可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，

故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为

|－5|a2＋4a2

＝

5

(a＞0)． a

故2

22－?5?2

＝22， ?a?

5

解得a2＝，

2因为a＞0，所以a＝答案：

10 2

10. 2

15．(·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，→→以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若AB·CD＝0，则点A的横坐标为________．

解析：

∵AB为直径 ∴AD⊥BD

∴BD即B到直线l的距离 |BD|＝|0－2×5|

＝25. 221＋2

∵|CD|＝|AC|＝|BC|＝r，又CD⊥AB. ∴|AB|＝2|BC|＝210 设A(a,2a)