高考数学二轮教师用书：层级二 专题五 第1讲 直线与圆 Word版含解析

??

解析：由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a＞－2，半径为r，得?|2a－4|

＝r，

??4＋5

??a＝－1，

解得满足条件的一组解为?

?r＝2，?

所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4. 答案：(x＋1)2＋y2＝4

?a＋2?2＋?3?2＝r2，

2

(2)(·马鞍山模拟)圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的

x标准方程为________________．

2

a，?(a＞0)，又因为圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心解析：由条件设圆心坐标为??a?2

2a＋＋14＋1

a2

到直线的距离d＝r＝≥＝5，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，所以圆心坐

a55标为(1,2)，圆的半径的最小值为5，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.

答案：(x－1)2＋(y－1)2＝5

热点三 直线(圆)与圆的位置关系

直观 想象 素养 直观想象——圆的方程应用中的核心素养 以学过的圆的相关知识为基础，借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”，然后利用“直观想象”解决问题. [例3] (1)(·湖北八校联考)过点(2，0)作直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．

[解析]

令P(2，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，

111

所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最

222大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝

2

|OH|21

于是sin∠OPH＝＝＝，

|OP|22

易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－

3. 33 3

2， 2

[答案] －

(2)如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.

①当|MN|＝219时，则直线l的方程为____________． →→②若BQ·BP为定值，则这个定值为________． [解析] ①设圆A的半径为R. ∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切， |－1＋4＋7|∴R＝＝25. 5

∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.

a．当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；

b．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.

∵|MN|＝219，∴|AQ|＝由|AQ|＝

|k－2|

20－19＝1.

3

＝1，得k＝，

4

k2＋1

∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.

∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0. →→

②∵AQ⊥BP，∴AQ·BP＝0. →→→→→∵BQ·BP＝(BA＋AQ)·BP →→→→→→＝BA·BP＋AQ·BP＝BA·BP.

2

－2，－?. 当直线l与x轴垂直时，得P?5??5→→

0，－?，又BA＝(1,2)， 则BP＝?2??→→→→

∴BQ·BP＝BA·BP＝－5.

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．

??－4k－7－5k??y＝k?x＋2?，

，由?解得P??. 1＋2k1＋2k????x＋2y＋7＝0，

－5k?→?－5

，∴BP＝??. 1＋2k1＋2k??

－510k→→→→

∴BQ·BP＝BA·BP＝－＝－5.

1＋2k1＋2k→→

综上所述：BQ·BP为定值，其定值为－5. [答案] ①x＝－2或3x－4y＋6＝0 ②－5

直线(圆)与圆的位置关系的解题思路

(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．

(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为两圆心之间的距离问题．