求二次函数解析式的几种方法

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2015年秋季九年级数学辅导资料

第二讲 函数图像性质及应用

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二次函数的图象与基本性质

（一）、知识点回顾

【知识点一：二次函数的基本性质】

开口方向 y＝ax 2y＝ax＋k 2y＝a(x－h)2＋y＝a(x－h) k 2y＝ax2＋bx＋c 顶点 对称轴 最值 增减性 【知识点二：抛物线的图像与a、b、c关系】

（1） a决定抛物线的开口方向：a>0，开口向 ________ ；a<0，开口向 ________ （2） c决定抛物线与 ________的位置：c>0，图像与y轴的交点在___________；

c=0，图像与y轴的交点在___________；c<0，图像与y轴的交点在___________；

（3）a，b决定抛物线对称轴的位置，我们总结简称为：___________； （4）△＝b2－4ac决定抛物线与________交点情况：

??0与x轴有两个交点?△＝b2－4ac??0与x轴有一个交点

??0与x轴没有交点?【知识点三：二次函数的平移】

设m?0,n?0，将二次函数y?ax向右平移m个单位得到___________；向左平移m个单位得到___________；向上平移n个单位得到___________；向下平移n个单位得到___________。简单总结为___________，___________。

（注意：要用以上方法对二次函数图象进行平移，要先化成顶点式再操作）

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【知识点四：二次函数与一元二次方程的关系】

二次函数y?ax2?bx?c(a?0)，当y?0时，即变为一元二次方程

ax2?bx?c?0(a?0)，从图象上来说，二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象与x轴的

交点的横坐标x的值就是方程ax2?bx?c?0(a?0)的根。 【知识点五：二次函数解析式的求法】

（1） 知抛物线三点，可以选用一般式：y?ax2?bx?c，把三点代入表达式列三元一次

方程组求解；

2（2） 知抛物线顶点或对称轴、最大（小）值可选用顶点式：y?a(x?h)?k；其中抛

物线顶点是(h,k)；

（3） 知抛物线与x轴的交点坐标为(x1,0),(x2,0)可选用交点式：

y?a(x?x1)(x?x2)1x?(x1?x2)

2，特别：此时抛物线的对称轴为直线

（二）、感悟与实践

例1：（1）求二次函数y＝x2－4x＋1的顶点坐标和对称轴.

（2）已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．

变式练习1-1：二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．

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例2：已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象如图1所示，则有： （1）a ___0,b___0 ,c___0 （2）b2－4ac___0 （3）a+b+c___0 （4）a-b+c___0 2y 21x=1 -1 12O24x 68

图2 图1 34变式练习2-1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图2所示，其对称轴x=﹣1，给出下列结果：

①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a﹣b+c＜0，则正确的结论是（） A、①②③④ B、②④⑤C、②③④ D、①④⑤

2变式练习2-2：已知二次函数y?ax?bx?c的图像如图3所示，那么一次函数y?bx?c和

反比例函数y?

a

在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） x

C D

例3：（2012?广州）将二次函数y=x2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为（ ）

A．y=x2﹣1 B．y=x2+1 C．y=（x﹣1）2 D．y=（x+1） 变式练习3-1：（2012泰安）将抛物线y?3x向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）

A．y?3(x?2)?3 B．y?3(x?2)?3

222图3 A B

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