高三数学 专题15 圆锥曲线的综合问题（学）

（寒假总动员）2015年高三数学寒假作业 专题15 圆锥曲线的综合问题（学）

学一学------基础知识结论 1．曲线与方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线． 2．求动点轨迹方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标． (2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}．

(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0，并化简． (4)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点

设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组

???，＝0，??

，＝0

的实数解．

若此方程组无解，则两曲线无交点． 学一学------方法规律技巧

1．曲线与曲线的方程是两个不同概念，曲线的方程需满足两个条件：一是曲线上点的坐标都是该方程的解；二是以该方程的解为坐标的点都是曲线上的点．如(2)错误理解了曲线方程的含义．

2．求轨迹方程，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系，检验应从两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合实际意义，注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

→→例1.如图所示，A(m，3m)和B(n，－3n)两点分别在射线OS，OT上移动，且OA·OB＝－1

2，O为坐标

→→→

原点，动点P满足OP＝OA＋OB.

(1)求mn的值；

(2)求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

例2. 一动圆与圆x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同时与圆x2＋y2－6x－91＝0内切，

求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么曲线．

x2

例3. (2012·辽宁卷)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1

9相交于A，B，C，D四点，点A1，A2分别为C2的左，右顶点．

(1)当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积． (2)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程．