高考数学专题八几何第练直线与圆锥曲线练习讲解

【步步高】（浙江专用）2017年高考数学 专题八 解析几何 第70练

直线与圆锥曲线练习

训练目标 会判断直线与圆锥曲线的位置关系，能熟练应用直线与圆锥曲线的位置关系解决有关问题. (1)求曲线方程；(2)求参数范围；(3)长度、面积问题；(4)与向量知识交汇应用问题. 联立直线与曲线方程，转化为二次方程问题，再利用根与系数的关系转化为代数式、方程组、不等式组，结合已知条件解决具体问题. 训练题型 解题策略 x2y22

1．已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)，其焦点为F1，F2，离心率为，直线l：x＋2y－2＝0与

ab2x轴，y轴分别交于点A，B，

(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；

(2)若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a，求a的取值范围．

x2y22

2．(2015·重庆巫溪中学第五次月考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点与抛物线yab＝－4x的焦点相同，且椭圆C上一点与椭圆C的左、右焦点F1，F2构成的三角形的周长为22＋2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m(k，m∈R)与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，△AOB的重心G5→→

满足：F1G·F2G＝－，求实数m的取值范围．

9

1

x2y23

3．(2015·北海模拟)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到ab2

的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程；

(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为(－a,0)，点Q(0，y0)在线段

AB的垂直平分线上，且QA·QB＝4，求y0的值．

4．(2015·山东莱芜一中1月自主考试)已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y＝45x的焦点，离心率是

6

. 3

2

→→

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆E相交于A，B两点，且在x轴上存在点M，使得MA·MB与k的取值无关，试求点M的坐标．

5．(2015·浙江新阵地教育研究联盟联考)已知中心在原点的椭圆Γ1的右焦点和抛物线Γ2的焦点相同，为(1,0)，椭圆Γ1的1

离心率为，抛物线Γ2的顶点为原点，如图所示．

2(1)求椭圆Γ1和抛物线Γ2的方程；

(2)设点P为抛物线Γ2准线上的任意一点，过点P作抛物线Γ的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

①设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值；

②若直线AB交椭圆Γ1于C，D两点，S△PAB，S△PCD分别是△PAB，△PCD的面积，试问：否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．

2

→→S△PAB是S△PCD 2

6．(2015·辽宁五校联考)设抛物线C1：y＝4x的准线与x轴交于1

点F1，焦点为F2，以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记作C2.

2(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线L经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|的长；

(3)若M是椭圆上的动点，以M为圆心，MF2为半径作圆M，是否存在定圆N，使得圆M与圆N恒相切？若存在，求出圆N的方程；若不存在，请说明理由．

2

3

答案解析

1．解 (1)由椭圆的离心率为2

2

，得a＝2c， ∵直线l与x轴交于A点，

∴A(2,0)，∴a＝2，c＝2，b＝2， ∴椭圆方程为x2y2

4＋2

＝1.

22

2

(2)由e＝2，可设椭圆E的方程为x2ya2＋a2＝1，

?22

联立?x2y?a2＋a2＝1，

??x＋2y－2＝0，

得6y2

－8y＋4－a2

＝0，

若线段AB上存在点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a， 则线段AB与椭圆E有公共点，

等价于方程6y2

－8y＋4－a2

＝0在y∈[0,1]上有解． 设f(y)＝6y2

－8y＋4－a2

，

∴???

Δ≥0，??

f(0)≥0，

??a24即?≥3，

??4－a2≥0，

∴43

≤a2

≤4， 故a的取值范围是23

3

≤a≤2.

?c＝1，

2

2．解 (1)依题意得?即???2a＋2c＝22＋2，

a2

＝b2

＋c2

，

?a＝2，??b2

＝1，

所以椭圆C的方程为x2

2

2＋y＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立得方程组???y＝kx＋m，

?

?x2＋2y2

－2＝0，

消去y并整理得(1＋2k2

)x2

＋4kmx＋2m2

－2＝0，

4