2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题(2)

，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查分类计数加法原理、分类讨论思想.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．．．说明、证明过程或计算步骤． 15. (1) 设复数满足(2) 若实数，满足【答案】（1）

；（2）

.

，利用复数模的公式可得结果；

，其中是虚数单位，求的值；

，求，的值．

【解析】试题分析：（1）利用复数的除法法则，化简

（2）利用复数除法法则化简等式两边的复数，然后利用复数相等列方程组求解即可得到，的值．

试题解析：(1) （2）

,

,

,

,

.

,解得 .

16. 现有5名男生、2名女生站成一排照相, （1）两女生要在两端，有多少种不同的站法？ （2）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？

（3）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？ 【答案】（1）

；（2）

；（3）

.

............

试题解析：（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排, （种）.

（2）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生；（种）.

（3）采用去杂法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的

（种）.

【方法点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 17. 在二项式

的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列。

个，再去掉女生乙在右端的

种排除了两次，要找回来一次．

（1）求展开式的第四项； （2）求展开式的常数项； （3）求展开式中各项的系数和． 【答案】（1）

；（2）；（3）

.

【解析】试题分析：（1）根据展开式的通项为成等差数列，求得

，结合前三项系数的绝对值

，从而求得展开式的第四项；（2）在展开式中，令的幂指数等于零，

求得的值，代入通项公式可得常数项；（3）在二项式项系数和.

试题解析：展开式的通项为

的展开式中，令，可得各

，r=0，1，2，…，n

由已知：成等差数列,

∴ ,∴ n=8 ,.

（1）令,,

（2）令,得 ，

.

,

（3）令x=1，各项系数和为

【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式

；（可以考查某一项，也可考查某一项的系

数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18. （1）用分析法证明:

；

（2）求证：，，不可能是同一等差数列中的三项. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）使不等式

成立的充分条件，先移项，再平方，一直分

析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证；（2）本题直接证明难度较大，可采用反证法，即假设，，为同一等差数列的三项，进而根据等差数列的定义及通项公式，分析出矛盾，进而得到结论成立. 试题解析：（1)要证要证只要证（2）假设则存在整数

,只要证

上式显然成立,故

是某一等差数列中的三项. ，实数满足

， ,只要证

,

.

,只要证

,只

,

，

，

，

.

因为左边是无理数，右边是有理数，所以产生矛盾. 所以假设不成立，故19. 已知数列

满足

不可能是同一等差数列中的三项.

且

.

（1）计算、、的值，由此猜想数列（2）用数学归纳法对你的结论进行证明． 【答案】（1）

，

的通项公式；

；（2）证明见解析. ,

，将

代入上式计算出、

【解析】试题分析：（1）由

、的值，根据共同规律猜想即可；（2）对于当当

时，证明结论成立，②假设当时，结论也成立即可.

，猜想：

，结论成立； 时，结论成立，即

时，

时，结论也成立，

的通项公式为时，在等式

.

， ．

，用数学归纳法证明即可.①

时，结论成立，利用归纳假设，去证明

试题解析： ⑴（2）①当 ②假设当则当即当

时，

，

由①②得，数列20. 请阅读：当

的两边对求导，得

，利用上述方法，试由等式

，正整数,

（1）证明：；（注：）

（2）求；

（3）求

【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）由 论；（2）由（1）令

可得

；（3）

.

， 两边对求导即可得结

；

（3）对（1）中结论两边对求导得，

，取

，

所得等式相加化简即可得结论.

，

,

得，分别利用令

试题解析：（1）证明：由 两边对求导得

所以

（2）在①式中，令

得

.

（3）将式两边同乘以得两边对求导得，取

得，

， 令

令

得，

得，

，

.

，

，

两式相加得，所以

.

，