概率论与数理统计复旦大学出版社第四章课后答案[精选]

概率论 习题四 答案

1.设随机变量X的分布律为

X P ??1 0 1 2 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) E(X)?(?1)?11111?0??1??2??; 828421212121522(2) E(X)?(?1)??0??1??2??;

828441(3) E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4

22.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 1 59051004C110C90?0.3405?0.583 C1002 2C10C390?0.0705C1003 32C10C90?0.0075C1004 41109051005 P CC5C10?0CC5?0 C100C 83?0故 E(X)?0.5? ?0.501, D(X)?0.?3?401?0.?070?2?0.?00?7?3

?[x?E(X)]P

2iii?05

?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340??0.432.?(5?0.501)2?0

3.设随机变量X的分布律为 X P ??1 0 1 p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求p1,p2,p3. 【解】因p1?p2?p3?1……①,

又E(X)?(?1)p1?0p2?1p3?p3?p1?0.1……②,

E(X2)?(?1)2p1?02p2?12p3?p1?p3?0.9……

由①②③联立解得p1?0.4,p2?0.1,p3?0.5.

O(∩_∩)O

4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白

球的概率是多少？

【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则

P(A)全概率公式?P{A|X?k}P{X?k}

k?0Nk1??P{X?k}?NN k?01n?E(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为

N?kP{X?k}k?0N

?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2,

?0,其他.?求E（X），D（X）. 【解】E(X)??????xf(x)dx??x2dx??x(2?x)dx

0112123?13??2x? ??x???x???1.

3?1?3?0?E(X2)??2????x2f(x)dx??x3dx??x2(2?x)dx?012127 6故 D(X)?E(X)?[E(X)]?1. 66.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.

（1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X.

【解】(1) E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1 ?2?5?3?11?1?44.

(2) E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X) 因Y,Z独立E(Y)E(Z)?4E(X)

?11?8?4?5?68. 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X??2Y），

D（2X??3Y）. 【解】(1) E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.

(2) D(2X?3Y)?22D(X)?(?3)2DY?4?12?9?16?192.

O(∩_∩)O

8.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=?试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因

?k,0?x?1,0?y?x,

其他.?0,x??????????f(x,y)dxdy??dx?kdy?0011k?1,故k=2 21x00E(XY)???????????xyf(x,y)dxdy??xdx?2ydy?0.25.

9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

?e?(y?5),y?5,?2x,0?x?1, fY(y)?? fX(x)??0,其它;其它.??0,求E(XY).

【解】方法一：先求X与Y的均值 E(X)? E(Y)?1?0x2xd?x2 ,3令z?y?5???5?(y?5)yeyd?5??0?zez?d???0z?zez?d??5 16.由X与Y的独立性，得

2E(XY)?E(X)E(Y)??6?4.

3 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为

?2xe?(y?5),0?x?1,y?5,f(x,y)?fX(x)fY(y)??

其他,?0,于是

E(XY)????5?10xy2xe?(y?5)dxdy??2xdx012???52ye?(y?5)dy??6?4.

310.设随机变量X，Y的概率密度分别为

?2e?2x,x?0,?4e?4y, fY(y)=?fX(x)=?x?0;?0,?0,求（1） E(X?Y);（2） E(2X?3Y2). 【解】E(X)? ? E(Y)?y?0, y?0.?????xfX(x)dx????0x2edx?[?xe?2x?2x??0]??e-2xdx

0?????01e?2xdx?.

2yYf(y)d?y???0?????????14yy?4e?dy

4y24e?y4dy?.21?. 2482 E(Y)????y2fY(y)dy??0O(∩_∩)O

?从而(1) E(X?Y)?E(X)?E(Y)3? .411522(2)E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2??3??

288??cxe?kf（x）=???0,22121?411.设随机变量X的概率密度为

x,x?0,

x?0.求（1） 系数c;（2）E(X);（3） D(X). 【解】(1) 由

?????f(x)dx??cxe?kxdx?0??22c2?1c?2k得. 22k22(2) E(X)??????xf(x)d(x)??2??0x2k2xe?kxdx

?2k(3) E(X)?2???0x2e?kxdx?22π. 2kx22k2xe?kxdx?222?????x2f(x)d(x)????01. 2k故

1?π?4?πD(X)?E(X2)?[E(X)]2?2???. ?2??k?2k?4k12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取

出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E(X)和D(X). 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

939?0.75??0.204, 0 , P{X?1}?1212113293219????0.04????0.005. P{X?2} 1 , P{X?3}?1211101211109? P{X?0}于是，得到X的概率分布表如下： X P 0 0.750 1 0.204 2 0.041 3 0.005 由此可得E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301.

E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.413D(X)?E(X)?[E(X)]?0.413?(0.301)?0.322.222

13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为

x?1?4?e,x?0, f(x)??4?0,x?0.?为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，

O(∩_∩)O