2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题4-3：三角函数的图象与性质(讲)

专题4.3 三角函数的图象与性质

1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．

2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正ππ

－，?内的单调性． 切函数在??22?

知识点一 三角函数的定义域和值域

三角函数 正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x 正切函数y＝tan x 图象 { x| x∈R，且定义域 R R π?x≠kπ＋2，k∈Z? ? 值域 [－1,1] π当且仅当x＝＋22kπ(k∈Z)时，取得最大[－1,1] 当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；当且仅当x＝π＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1 R 最值 π值1；当且仅当x＝－2＋2kπ(k∈Z)时，取得最小值－1 知识点二 三角函数的性质 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 最小正周期 奇偶性 2π 奇函数 π，2kπ＋ ]为增； [ 2kπ－π222π 偶函数 [2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增，k∈Z π 奇函数 单调性 3π，2kπ＋ ]为减，k[ 2kπ＋π22∈Z π，kπ＋ )( kπ－π22为增，k∈Z 对称中心 对称轴

(kπ，0)，k∈Z πx＝kπ＋，k∈Z 2?kπ＋π，0?，k∈Z 2??x＝kπ，k∈Z ?kπ，0?，k∈Z ?2? 考点一 三角函数的定义域

【典例1】（陕西省渭南市 2018-2019学期中）函数y?2tan?2x??????的定义域为（ ） 3?A．?x|x???? 12??,k?Z? 12???B．?x|x????? 12???C．?x|x?k??【答案】D 【解析】 因为2x?所以x????D．?x|x???k????,k?Z? 212??3?k???2,k?Z，

k???,k?Z 212故函数的定义域为 ?x|x???k????,k?Z?，选D。 212?【方法技巧】三角函数定义域的求法

求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 【变式1】（广东省石门中学2018-2019学年期末）函数y＝lg(sin x)＋sin x>0，sin x>0，????

【解析】函数有意义，则?即?11

??cos x－2≥0，??cos x≥2，2kπ

解得?π π

??－3＋2kπ≤x≤3＋2kπ （k∈Z），π

所以2kπ

3

π??

所以函数的定义域为?x|2kπ

?

?

1cos x－的定义域为________。

2

π??

【答案】?x|2kπ

?

?

考点二 三角函数的值域(最值)

【典例2】 (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 【答案】B

1－cos 2x35【解析】∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos 2x－＋2＝cos 2x＋，

222∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4，故选B。 【方法技巧】

三角函数值域或最值的3种求法

形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域直接法 求出 形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确化一法 定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值) 形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函换元法 数求值域(最值)；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 3?0，π??的最大值是________． 【变式2】 (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋3cos x－?x∈

4??2??313

【解析】依题意，f(x)＝sin2x＋3cos x－＝－cos2x＋3cos x＋＝－?cos x－?2＋1，

442??π

0，?，所以cos x∈[0,1]， 因为x∈??2?因此当cos x＝【答案】1

【举一反三】(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为________。 【解析】f(x)＝2cos x＋sin x＝5?＝5sin(x＋α)(其中tan α＝2)，

故函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为5. 【答案】5

考点三 三角函数的单调性

ππ?π

【典例3】(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间??4，2?单调递增的是( ) 2A．f(x)＝|cos 2x| C．f(x)＝cos|x| 【答案】A

ππ?ππ

，时，2x∈?，π?，函数f(x)单调递增，故A正确；【解析】函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈??42??2?2ππ?π?π，π?，，时，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈?2x∈故B不正确；函数f(x)＝cos|x|?42??2?函数f(x)单调递减，2

??sin x，x≥0，

＝cos x的周期为2π，故C不正确；f(x)＝sin|x|＝?由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)

?－sin x，x<0，?

3

时，f(x)max＝1. 2

255?cos x＋sin x

5?5?

B．f(x)＝|sin 2x|

D．f(x)＝sin|x|

均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确，故选A。

【举一反三】 (2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是( ) π

A. 4

πB. 2

3π

C. D．π 4