SARS传染病模型

12、q(t) ：在t时刻的退出率，即q(t)?Q(t)?o(t)?d(t)； N(t)四、模型的建立与求解

在SARS爆发的初期, 由于潜伏期的存在, 社会对SARS病毒的传播速度和危害程度认识不够, 所以政府和公众并不以为然; 当人们发现被感染者不断增加、死亡人数不断增多时, 政府开始采取多种措施以控制SARS的进一步蔓延.所以SARS的传播可以分为三个阶段:

（1）、控制前的自然传播模式阶段。

（2）、过渡期阶段，即公众开始意识到SARS的严重性到政府采取隔离措施前的一

段时期内。 （3）、控制阶段，即政府采取隔离治疗措施阶段。

但是, 不管SARS传播处于哪个阶段，影响传播最本质的因素是: 自由传染者的数量N(t), 传播的概率K(t)及病毒本身的传播能力(用O(t)和D(t)来衡量)等。所以我们不分阶段进行考虑。

第n天的病人是在第n?1天的基础上加上新增的病人，减去退出传染系统的病人，即：

Nn?Nn?1?(Kn?1)?Dn?On

移项得

1?Kn?1?Nn?Dn?On?1 …………………… （1）

Nn?1经过转换，得

1?Kn?1Nn?1?Nn?Nn?1?1?Dn?1?On

取微分得到下面连续的方程

dtK(t)N(t)?dN(t)?D(t)dt?O(t)dt

即：

dN(t)?K(t)N(t)?D(t)?O(t) dt由此得到SARS的传播模型为：

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?dN(t)?dt?K(t)N(t)?q(t)N(t)? ?q(t)?d(t)?o(t)?N?N(0)?0?这和传染病SIR模型?1?的形式是相统一的。其中K(t)、d(t)、o(t)等参数可以为我们提供所需要的信息。

我们只要能够知道K(t)、d(t)、o(t)的表达式，便可以求解微分方程得到N(t)。我们根据北京地区6月1号以前的数据进行拟合，预测K(t)、d(t)、o(t)以后的走势曲线，从而实现对N(t)的预测。

1、对于K(t)

我们根据北京市疫情的数据，根据（1）式对K 进行描点，得到一些K值的散点图。 随着时间的推移，隔离措施、医疗保障、公众健康意识的加强，K值应该急剧减小，并趋近于0。因此对散点进行指数回归分析（利用Matlab软件）?2?，便可得到K关于时间t的连续函数K(t)（附件一模型中的K值是离散的）（图3）。

图3

K(t)?0.44865?e?0.18006t

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从图中可以看出，由前40个点拟合出的指数函数与后期的数据是吻合的。 根据新增死亡病例和新增治愈病例的数据，也可以得到d和o的散点图。 2、对于d(t)

随着医疗水平的提高以及对SARS病毒研究的深入，死亡率将逐渐减少，我们对d的散点图进行指数回归分析，即得d(t)（如图4）

图4

d(t)?0.01701?e?0.117t

3、对于o(t)

在SARS疫情蔓延的初期，传染系统的人数较少，由于人们对SARS病毒的了解不多，防危意识不强，导致疫情的爆发，传染系统的人数急剧增加，治愈率呈现降低的趋势；随着政府的干预，人们防危意识的增强，治愈率开始增加。o(t)整体显示出抛物线的特性，我们对它进行二阶回归分析得到如下结果（图5）：

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图5

o(t)?0.00007727t2?0.00234t?0.02138

? 由于实际数据有很大的随机性，在回归分析中，我们很难找到准确的函数来描述相应参数的变化趋势，只能从整体上来预测。这是我们遇到的最大的困难。

将得到的K(t)、d(t)、o(t)代入微分方程，得

dN(t)?0.44865?e?0.18006t?(0.01701?e?0.117t?0.00007727t2?0.00234t?0.02138)N(t) dt??我们利用Mathematica的微分方程数值求解命令NDSolve??，求得N(t)的数值解，并画出随着时间变化的曲线（图6）：

175015001250100075050025020406080图6

X轴的起始坐标是4月20号，Y轴表示人数

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