河南人事考试网：2015年河南省考数学运算中的“至多至少”问题

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数学运算中的“至多至少”问题

华图教育 王小欢

2014年河南省的省考日益临近，许多考生确定好“心仪”的职位后，又开始了紧张的备考。其中在数学运算中，有一类问题，最后的问题中含有“至多”或者“至少”等字眼，许多考生见到此类问题便不知道从什么地方入手，久而久之，看到这样的题目就出现了“畏难”的情绪。进而恶性循环，越不会做这类题，越畏惧，越畏惧，越不会做这类题。这里我们举出几个相关例子，帮助大家克服这类行测备考路上的“拦路虎”。

【例1】一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？ A. 12人 B. 14人 C. 15人 D. 16人

【解析】法一：一共会跳舞的人次为：12+8+10=30（人次），若要求会跳两种舞蹈的人数最多，则需要会跳舞的人尽可能会跳两种舞蹈，则最多有30/2=15人。因此本题答案为C。

法二：设会跳一种舞的有a人，会跳两种舞的有b人，会跳三种舞的有c人，则总的人次是a+2b+3c=12+8+10=30。显然当a=c=0时b最大。b最大为15，此题答案为C。 法三：记三种舞蹈分别为A、B、C，则一共可分为7种情况：A、B、C、AB、AC、BC、ABC，要想会跳两种的人最多，则需要A、B、C、ABC的人数均为零，设会跳AB、AC、BC的人分别为x、y、z，则可得有12人会跳拉丁舞：x+y=12，有8人会肚皮舞：x+z=8，有10人会芭蕾舞：y+z=10。解得x+y+z=15,即15个人会跳两种舞蹈，选C。 【例2】有编号为1-13的卡片，每个编号有4张，共52张卡片。问至少摸出多少张，就可保证一定有3张卡片编号相连？

A. 27张 B. 29张 C. 33张 D. 37张

【解析】本题为最不利构造问题，题目要求3张卡片编号相连，最不利的情况就是已摸的牌里只有2张编号相连的情况，比如1、2、4、5、7、8、10、11、13（或者1、3、4、6、7、9、10、12、13），抽到这样9个数字是没有“3张卡片编号相连”最不利的情形，一共可以抽到4×9=36张牌，那么再摸出1张就能保证一定有3张卡片编号相连。因此本题答案为D。

【例3】有一架天平，只有5克和30克的砝码各一个。现在要用这架天平把300克味精平均分成3份，那么至少需要称多少次？

A. 3次 B. 4次 C. 5次 D. 6次

【解析】法一：第一次：将30克的砝码放在左边，然后往两边放盐。直至天平平衡，而且300克盐正好分成两份。这样天平左边盐135克，取出记为a

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部分，右边165克，取出记为b部分。

第二次：将5克和30克的砝码放在左边，从a部分取盐放入右边，直至天平平衡。这样 a部分剩下的盐就为100克，记为c部分。

第三次：把c部分放在左边，从b部分取盐放入右边。直至天平平衡。这样右边部分也为100克。记为d部分。a部分剩下的盐加上b部分剩下的盐：35+65=100。

法二：第一步称重：30克砝码放入天平一边托盘，将300克食盐倒入两边托盘，使天平平衡，此时两边托盘的食盐分别是165克和135克；第二步称重：5克和30克砝码放入天平一边托盘，从135克食盐中称出35克，剩余100克；第三步称重：将35克与165克食盐混合，为200克，利用天平将其平分为两份100克食盐。故完成目标最少共需要称重3次，因此，本题答案为D选项。 “至多至少”问题一定要区别问的是“至多”或者是“至少”，无论是“至多”还是“至少”，要分析如何安排使得结果或多，或少。在具体的题目中，又要结合题目，研究题目涉及的是容斥原理中的“至多至少”，或者是最值问题中的“至多至少”，又或者是天平类问题中的“至多至少”。

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